Valor Máximo

Question

Que $a,b,c,d$ ser no negativos números verdaderos tales que $a^5 + b^5 \le 1$ y $c^5 + d^5 \le 1$. Encontrar el máximo valor posible de $a^2c^3 + b^2d^3$.

He probado usando AM, GM y algunas otras desigualdades básicas pero estaban sin uso. Necesita algunos consejos.

Answer 1

Se puede hacer fácilmente con la desigualdad de Holder, con $p=5/2, q=5/3$ y $u=(a^2,b^2), v=(c^3,d^3)$ a continuación:

$$\begin{align}a^2c^3+b^2d^3 &= |(a^2c^3,b^2d^3)|_1\\&\leq |(a^2,b^2)|_p |(c^3,d^3)|_q \\&= (a^5+b^5)^{2/5}(c^5+d^5)^{3/5}\leq 1 \end {Alinee el} $$

Ahora hay que para encontrar un caso donde es igual a $1$, que es bastante fácil de hacer.

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Un enfoque más elemental es utilizar AM / GM y obtener que:

$$\frac{2}{5}a^5+\frac{3}{5}c^5= \frac{1}{5}(a^5+a^5+c^5+c^5+c^5)\geq \sqrt[5]{a^{10}c^{15}} = a^2c^3$$

Semejantemente: %#% $ de #% agregarlo consigue:

$$\frac{2}{5}b^5+\frac{3}{5}d^5\geq b^2d^3$$

Answer 2

Deje $M=\{(a,b,c,d)\in (\mathbb{R}_{\geq 0})^4 \ : \ a^5+b^5\leq 1, c^5+d^5\leq 1 \}$. Considere la posibilidad de

$$ f: \ M \rightarrow \mathbb{R}, \ f(a,b,c,d)= a^2 c^3+b^2 d^3.$$

La derivada es

$$ \nabla f(a,b,c,d)=( 2ac^3, 2bd^2, 3a^2c^3, 3b^2d^2).$$

Si el máximo se alcanza en el interior de $M$, entonces su pendiente se desvanece. Sin embargo,

$$ (0,0,0,0)=\nabla f(a,b,c,d)=( 2ac^3, 2bd^2, 3a^2c^3, 2b^2d)$$

implica que $a=0, b=0$ o $a=0,d=0$ o $c=0,b=0$ o $c=0,d=0$. Claramente, esto no nos da un máximo. Por lo tanto, el máximo se encuentra en el límite de $M$.

Estamos en el límite, si al menos uno de $a,b,c,d$ es igual a cero (que, por el mismo argumento que no dará un máximo) o si estamos en el siguiente conjunto

$$ \{(a,b,c,d)\in (\mathbb{R}_{\geq 0})^4 \ : \ a^5+b^5= 1 \} \cup \{(a,b,c,d)\in (\mathbb{R}_{\geq 0})^4 \ : \ c^5+d^5= 1 \}.$$

En este conjunto podemos tener $a=(1-b^5)^{1/5}$ o $c= (1-d^5)^{1/5}$. Por lo tanto, podemos considerar

$$ f_1(b,c,d)=f((1-b^5)^{1/5}, b,c,d) $$

respectivamente

$$ f_2(a,b,d)=f(a,b,(1-d^5)^{1/5},d)$$

y seguir adelante con el análisis. Calcular el gradiente de nuevo, por fin nos puede asumir $a=(1-b^5)^{1/5}$$c= (1-d^5)^{1/5}$. Por lo tanto, tenemos que considerar el mapa

$$ f_3(b,d)= f((1-b^5)^{1/5}, b, (1-d^5)^{1/5}, d) = (1-b^5)^{2/5}\cdot (1-d^5)^{3/5} + b^2\cdot d^3. $$

en el dominio $[0,1]\times [0,1]$. Para$0<b,d< 1$, se puede calcular el gradiente de

\begin{align*} \nabla f_3(b,d)&= \left(\frac{2}{5}\cdot \frac{-5b^4}{(1-b^5)^{3/5}}(1-d^5)^{3/5} +2bd^3, (1-b^5)^{2/5}\cdot \frac{3}{5}\frac{-5d^4}{(1-d^5)^{2/5}}+3b^2 d^2\right) \\ &= \left(2b\cdot \left(\frac{-b^3}{(1-b^5)^{3/5}}(1-d^5)^{3/5} +d^3\right), 3d\cdot \left(-(1-b^5)^{2/5}\cdot \frac{d^3}{(1-d^5)^{2/5}}+b^2 d \right)\right) \\ &= \left( 2b \cdot \left(-b^3\cdot\left(\frac{1-d^5}{1-b^5} \right)^{3/5}+d^3 \right), 3d^2\cdot \left( -d^2 \cdot \left( \frac{1-b^5}{1-d^5} \right)^{2/5} +b^2 \right)\right) \end{align*}

Por lo tanto, el gradiente se desvanece iff (como $0<b,d<1$)

$$ d= b\cdot \left( \frac{1-d^5}{1-b^5} \right)^{1/5} \quad \text{ and } \quad b= d\cdot \left( \frac{1-b^5}{1-d^5} \right)^{1/5}.$$

Suponga $b>d$, ($0<b,d <1)$ hemos

$$ 0< \frac{1-b^5}{1-d^5} <1,$$

lo que implica

$$ b = d\cdot \left( \frac{1-b^5}{1-d^5} \right)^{1/5} < d. $$

Lo cual es una contradicción. Por symmetrie llegamos $b=d$. En este caso tenemos

$$f_3(b,b)=(1-b^5)+ b^5=1.$$

Uno fácilmente se comprueba que para $b=0,1$ o $d=0,1$ todavía tenemos $f_3(b,d)\leq 1$.

Por lo tanto, $\max_{(a,b,c,d)\in M} f(a,b,c,d)=1$.