Prueba de que un espacio topológico está conectado por arcos

Question

Leyendo un libro encontré un espacio topológico descrito como:

Sea $(X,\tau)$ sea el espacio topológico formado por la adición al intervalo unitario cerrado ordinario $[0,1]$ a $1*$ con los conjuntos $(a,1)\cup$ {1*} como base de vecindad local.

Entonces dice que tal espacio topológico es arco conectado. He encontrado casi exactamente la misma pregunta ici que aún no se ha resuelto, sin embargo voy a proporcionar algunos detalles.

El propio libro afirma que como [0,1] y [0,1) $\cup$ {1 } son homeomórficos como subespacios, Euclidiano,X es la unión de dos subespacios compactos y por tanto compacto,por el mismo razonamiento es arco conectado.

¿Cómo puede tal argumento probarme que hay un inyectiva ruta de $1$ a $1*$ ? ¿Es posible explicitar dicho camino?

Más información: Como dice el libro:

Las conectividades de trayectoria y de arco están relacionadas con la existencia de determinadas continuo funciones del intervalo unitario en una Las funciones continuas del intervalo unitario se denominan caminos, si son uno a uno son arcos.

Answer 1

Este espacio no está conectado por arcos. En efecto, supongamos $f:[0,1]\to X$ es un arco tal que $f(0)=1$ y $f(1)=1^*$ . Entonces $f(1/2)\in [0,1)$ y $f|_{[0,1/2]}$ es una ruta (reparametrizada) desde $1$ a $f(1/2)$ en $[0,1]$ . Así $f([0,1/2])$ debe contener todos $[f(1/2),1)$ . Pero con un argumento similar, $f([1/2,1])$ también debe contener todos $[f(1/2),1)$ . Esto contradice la inyectividad de $f$ .