Confusión sobre Cantor ' teorema s.

Question

Estoy un poco confundido sobre el teorema de Cantor diciendo que la cardinalidad de un conjunto no puede ser igual a la cardinalidad de su conjunto potencia.

Considerar el conjunto potencia de $\mathbb{N}$. ¿No pudo el conjunto potencia de $\mathbb{N}$ considerarse un subconjunto de la Unión de los conjuntos de $\mathbb{N^1}, \mathbb{N^2}, \mathbb{N^3}, \ldots$? ¿Todos los conjuntos son enumerables y claramente la lista de los juegos está lista, así que su unión y, por tanto, un subconjunto infinito de su sindicato debería lista, lo que implica que la cardinalidad es igual a $\mathbb{N}$?

Answer 1

Que la Unión le da sólo los subconjuntos finitos. De hecho sólo hay contable de muchos subconjuntos finitos de $\mathbb N$.

Sin embargo, también debemos señalar que la Unión que habla le da tuplas, no subconjuntos. Por ejemplo $(3,1,7)$ y $(1,7,3)$ son dos tuplas distintas, como $(2,2,3)$ y $(2,3)$. El % de sistemas $\{3,1,7\}$y $\{1,7,3\}$ son lo mismo y el % de sistemas $\{2,2,3\}$y $\{2,3\}$ son los mismos.

Teorema de cantor en realidad dice que la cardinalidad de un conjunto es estrictamente menor que el cardinal de su conjunto potencia.

Answer 2

Yo creo que lo que hay en el trabajo sólo un pequeño malentendido respecto de la noción de subconjunto, en el sentido de infinito subconjunto. Voy a ofrecer una prueba como la siguiente, que espero ayuda como está, sin referencia explícita a infinito.

Teorema: Vamos a $X:=\{x_1,...,x_n\}$ y denotan por $P(X)$ el conjunto de todos los subconjuntos de a$X$,$P(X)>X$. (o, equivalentemente, si $X$ $n$- elemento de establecer, a continuación,$P(X)= 2^n$).

Deje $f: P(X) \rightarrow D$ cuando $D := \{s_1,...,s_n\}$, $n \in \mathbb N$.

Para cada una de las $S \subseteq X$, $f(S)=(s_1,...,s_n)$ donde $s_i=1$ si $x_i$ está en $S$, $0$ si de lo contrario.

Tenga en cuenta que $|D|=2^n$ (o $n$-número de copias (productos) de los elementos de $X$).

La prueba de que $f$ es de uno a uno: 1) Vamos a $S,M \subseteq X$$S \neq M$,$U \nsubseteq V$, por lo que hay algunos $i, 1<i<n$ tal que $x_i$$S$, pero no en $M$ (es decir, toma el valor de 1 si $S$ $0$ si $M$. Más precisamente, para la $f(S)$, $f(x_i) =1$ para $x_i \in S$ pero $f(x_i) = 0$$x_i \in M$. Por lo tanto,$ f(S) \neq f(M)$.

La prueba de que $f$ es en: 2) Deje $(s_1,...,s_n) \in D$ anterior. Tome $x_i \in S \iff x_i =1$. Claramente, $f(S) = (s_1,...,s_n)$. Por lo tanto $f$ es bijective, y $|P(X)|=|D|$ donde $|D|$ $n$- número de copias de los elementos de $X$.