Multiplicar los polinomios largo $e^x$ y $e^y$ no me dan el polinomio largo $e^{x+y}$

Question

Como alternativa a las reglas normales para poder dar $e^xe^y=e^{(x+y)}$ estoy multiplicando el polinomio del largo de la serie de taylor de $e^x$ y $e^y$. Sólo tomo los tres primeros términos: %#% $ de #% con esto y tratar de llegar a $$ \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots\right)\left(1+y+\frac{y^2}{2!}+\cdots\right).$ $ colecciono una gran cantidad de términos y tomar los términos sé igual a $$1+(x+y)+\frac{(x+y)^2}{2!}+\cdots$, pero luego me quedo con términos como $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ estos últimos términos no puedo resolver a. ¿Estoy haciendo algo mal o puedo decir que lo guardo para la broca de $yx^2/2!+xy^2/2!$?

Answer 1

Estos términos pertenecen al término de la $(x+y)^3$. La manera de ver es la su potencia total es de 3 a la del teorema del binomio. La forma correcta de hacer este problema es con los productos de Cauchy.

Answer 2

Están haciendo bien. Si expande $e^{(x+y)}$ tiene $1+(x+y)+\frac 12(x+y)^2+\frac 16(x+y)^3 \dots$ como dices. Ampliar el término de #% de #% % da $\frac 16(x+y)^3$. El centro dos de estos son los que le preocupa.

Answer 3

$$(1+x+\frac{x^{2}}{2}+...)(1+y+\frac{y^{2}}{2}+...)=1+x+y+\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+xy+...=$ $ $$=1+(x+y)+\frac{(x+y)^{2}}{2}+...$ $ Los otros términos, como por ejemplo $yx^2/2!+xy^2/2!$ aparecerán como las partes de la expresión $\frac{(x+y)^{3}}{3!}$.

Answer 4

ps