Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica proyectiva suave sobre $\mathbb{C}$ . Entonces creo que alguien (¿Serre?) demostró que el Grupo de Brauer Cohomológico Etale coincide con la parte de torsión del Grupo de Brauer Analítico $H^{2}(X,\mathcal{O}^{\times})$ . Este último grupo se calcula en la topología clásica (métrica) sobre la variedad compleja asociada con el conjunto de funciones holomorfas que no desaparecen en ninguna parte.
Sin embargo, es fácil que haya elementos sin torsión en $H^{2}(X,\mathcal{O}^{\times})$ Por ejemplo, considere la imagen en $H^{3}(X,\mathbb{Z}) \cap (H^{(2,1)}(X) \oplus H^{(1,2)}(X))$ .
¿Podría haber una topología más refinada que etale pero definida algebraicamente que pueda ver estas clases de no-torsión? Obsérvese que también se puede plantear la pregunta para cualquier $H^{i}(X,\mathcal{O}^{\times})$ . Para $i=0,1$ el Zariski y el etale funcionan bien.
¿Por qué se rompen las cosas para $i>1$ ?
