El homotopy categoría $\mathsf{hTop}$ (espacios topológicos localizada en la débil homotopy equivalencias) no tiene muchos límites / colimits, pero no tiene productos, calculadas en el punto de nivel.
Ahora, en el punto de nivel, (compacta generado) los espacios son cartesiana cerrada. Cartesiano de cierre, en cierto sentido, sólo implica finito de productos, que se conservan en el pasaje a la homotopy categoría. Así que podríamos esperar que el homotopy categoría ha exponenciales, calculada en el punto de nivel.
Sin embargo, no parece ser un problema. Considere la posibilidad de la unidad de intervalo de $I$. A continuación, $I \times (-): \mathsf{hTop} \to \mathsf{hTop}$ es isomorfo a la identidad functor. Pero la exponencial functor $(-)^I: \mathsf{hTop} \to \mathsf{hTop}$ envía $X$$X^I$, el cual es isomorfo en $\mathsf{hTop}$ a el espacio discreto de los componentes de la ruta de $X$, ya que el camino en el espacio de un camino conectado espacio es contráctiles. Estos functors claramente no son adjunto -- el medico adjunto de la identidad functor es también la identidad functor. Así que si hay un aumento exponencial en $\mathsf{hTop}$, no es la calculada en el punto de nivel.
Pero tal vez esto puede ser salvado? Es el homotopy categoría cartesiana cerrada?
EDITAR Como se discute en los comentarios, simplemente estoy confuso y basados en la unbased ruta de los espacios, que son muy, muy diferentes. Así que la mayoría de lo que escribí estaba equivocado: el unbased ruta de espacio $X^I$ es homotopy equivalente a $X$ a través de la "constante mapa de ruta" $X \to X^I$. Por lo $I \times(-)$$(-)^I$, considerado como functors en $\mathsf{hTop}$, ambos se convierten en isomorfo a la identidad functor y, por tanto, permanecer adjunto. Así que quizás $\mathsf{hTop}$ tiene de hecho una cartesiano estructura cerrada, calculada como en el punto de nivel.
