Asignaciones de $\omega_1$

Question

Nosotros hemos estado estudiando diversas propiedades de $\omega_1$ (equipado con la topología de la orden), y recientemente me topé con estas preguntas. ¿Puede alguien ayudarme?

Si $f$ $\omega_1$ en un espacio métrico $X$ todos los mapas y $f$ es continua, ¿por qué es $X$ compacto? También, ¿por qué existen $\alpha \in \omega_1$ tal que $f$ mapas intervalo $[0, \alpha]$ en $X$?

Answer 1

Supongamos que $f:\omega_1\to X$ es un mapa continuo de $\omega_1$ a de un espacio métrico $X$ con métrica $d$. Una métrica del espacio es compacto si cada conjunto infinito tiene un clúster de punto, de modo que si $X$ no es compacto, que contiene un sistema cerrado, el conjunto discreto $C=\{x_n:n\in\omega\}$. Para $n\in\omega$ deje $\alpha_n\in\omega_1$ ser tal que $f(\alpha_n)=x_n$, y vamos a $A=\{\alpha_n:n\in\omega\}$. $A$ es un subconjunto infinito de $\omega_1$, por lo que es estrictamente creciente secuencia $\langle n_k:k\in\omega\rangle$ $\omega$ tal que $\langle \alpha_{n_k}:k\in\omega\rangle$ es estrictamente creciente en a $\omega_1$. Deje $\alpha=\sup\{\alpha_{n_k}:k\in\omega\}$; a continuación, $\langle \alpha_{n_k}:k\in\omega\rangle$ converge a$\alpha$$\omega_1$, lo $\langle f(\alpha_{n_k}):k\in\omega\rangle=\langle x_{n_k}:k\in\omega\rangle$ converge a$f(\alpha)$$X$, contradiciendo la elección de $C$. Por lo tanto, $X$ debe ser compacto.

Cada compacto de espacio métrico separable, así que vamos a $D$ ser una contables subconjunto denso de $X$. Entonces hay una contables $A\subseteq\omega_1$ tal que $f[A]=D$; deje $\alpha=\sup A\in\omega_1$. Para cada una de las $x\in X$ hay una secuencia $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ $D$ convergentes a $x$. Para $n\in\omega$ elija $\xi_n\in[0,\alpha]$ tal que $f(\xi_n)=x_n$. Como antes, algunos subsequence $\langle\xi_{n_k}:k\in\omega\rangle$ debe converger a algunos $\eta\le\alpha$, y por lo tanto $$\langle x_{n_k}:k\in\omega\rangle=\langle f(\xi_{n_k}):k\in\omega\rangle\to f(\eta)\;.$$ But $\langle x_{n_k}:k\in\omega\rangle\a x$, so $x=f(\eta)$, and $f$ maps $[0,\alpha]$ onto $X$.

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Usted puede intentar para demostrar la estrecha relación del hecho de que cada real continua con valores de la función en $\omega_1$ es constante en una cola de $\omega_1$. Para cada una de las $\alpha\in\omega_1$ deje $K_\alpha=f[\omega_1\setminus\alpha]$; el resultado anterior muestra que el $K_\alpha$ debe ser un subconjunto compacto de $\Bbb R$. Deje $K=\bigcap_{\alpha\in\omega_1}K_\alpha$. Claramente $K$ no está vacía. Mostrar que $K$ contiene exactamente un punto, decir $x$, $f(\xi)=x$ para todos lo suficientemente grande $\xi\in\omega_1$.

Answer 2

Como un ordinal espacio de $\omega_1$ es secuencialmente compacto, pero no compacto. Si se asigna a un espacio métrico, a continuación, la métrica del espacio también es secuencialmente compacto, sin embargo para la métrica de los espacios de las nociones de compacidad son equivalentes. Por lo $X$ tendría que ser compacta así.

Desde $X$ es un espacio métrico compacto tiene que ser separables, por lo que tenemos una contables subconjunto denso $D$. Así que hay algo de $\alpha<\omega_1$ tal que $D$$[0,\alpha]$. Desde $\omega_1$ es secuencialmente compacto todo el límite de puntos de $D$ debe estar en el intervalo de $[0,\alpha]$.