He trabajado a través de algunos ejemplos del Teorema de Bayes y ahora estaba leyendo la prueba.
Teorema de Bayes establece lo siguiente:
Supongamos que el espacio muestral S se divide en subconjuntos disjuntos $B_1, B_2,...,B_n$. Que es, $S = B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n$, $\Pr(B_i) > 0$ $\forall i=1,2,...,n$ y $B_i \cap B_j = \varnothing$ $\forall i\ne j$. Luego de un evento A,
$\Pr(B_j \mid A)=\cfrac{B_j \cap A}{\Pr(A)}=\cfrac{\Pr(B_j) \cdot \Pr(A \mid B_j)}{\sum\limits_{i=1}^{n}\Pr(B_i) \cdot \Pr(A \mid B_i)}\tag{1}$
El numerador es sólo a partir de la definición de probabilidad condicional en forma multiplicativa.
Para el denominador, leí la siguiente:
$A= A \cap S= A \cap (B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n)=(A \cap B_1) \cup (A\cap B_2) \cup \cdots \cup(A \cap B_n)\tag{2}$
Ahora bien, esto es lo que no entiendo:
Los conjuntos de $A \cup B_i$ son distintos debido a que los conjuntos de $B_1, B_2, ..., B_n$ forma una partición.$\tag{$\clubsuit$}$
No veo la manera de que se infiere o por qué ese es el caso. Lo que hace B forman una partición tiene nada que ver con ser discontinuo con A. por favor alguien Puede explicar este conceptualmente o a través de un ejemplo?
He trabajado un ejemplo en el que había 3 refrigeradores y en cada cámara tenía raíz cerveza o refresco. Así que el primer nodo sería el que más fresco que usted elija y el segundo nodos sería si usted elige raíz de cerveza o refresco. Pero no veo por qué estos serían distintos. En todo caso, yo diría que no eran distintos porque cada cámara contiene ambos tipos de bebidas.
Gracias de antemano! :)
