Cómo definir la extensión de la base de una acción de grupo en un esquema

Question

Supongamos que $G/S$ es que un esquema de grupo $S$, $X/S$ es un esquema $S$. $G$ actúa sobre el morfismo $X$ $ \sigma : G \times_S X \to X$. Que $X'$ sea un esquema $X$. ¿Cómo se deine la acción de grupo en $X'$, es decir, $\sigma ' : G \times_S X' \to X'$?

Presumabely, este morfismo debe ser la extensión de la base de $\sigma$, es decir, $(G \times_S X) \times_X X'$. Sin embargo, no sé cómo mostrar este producto fibra es $G \times_S X'$. (WLOG, uno puede asumir que $X,X'$ son esquemas afines).

Answer 1

En primer lugar, usted se olvidó de un "primer" en el $G\times_S X$ justo antes de su última frase.

Sin embargo una de las que quiere demostrar que es una propiedad general de fibrado productos. Una manera de hacerlo es dibujar el diagrama donde se ponen en una "torre" de sus dos productos de fibra de $G\times_SX$ $(G\times_SX)\times_XX'$ (lo siento, no soy capaz de dibujar aquí). Esto le dará una morfismos $G\times_SX'\to (G\times_SX)\times_XX'$ y usted puede demostrar que es un isomorfismo. Tenga en cuenta que si todo lo que es afín a su reclamo sigue fácilmente porque puede escribir

\begin{equation} (M\otimes_BN)\otimes_AP\simeq M\otimes_B(N\otimes_AP) \end{equation}

cuando usted tiene un anillo de homomorphism $B\to A$ $N,P$ $A$- módulos, y $M$ $B$- módulo (y usted está exactamente en esta situación en el nivel de morfismos de los planes).

Answer 2

edit: Como Zhan Li señala, no he entendido la pregunta. Voy a dejar lo que yo había escrito aquí de todos modos.

Su último debe leer la frase "sin Embargo, no sé cómo mostrar esta fibra producto es $G \times_S X'$", es decir, debe ser $X'$ en lugar de $X$.

La respuesta a tu pregunta de la siguiente manera a partir de una más general de la realidad, a saber, que las torres de fibrado plazas son fibrado plazas (este es el ejercicio 2.3.P en Vakil la OFAG, la versión de Mayo, 16).

Supongamos que tenemos una categoría y dos plazas fibrado

$W \longrightarrow Y$

$\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow$

$X \longrightarrow\,\, Z$

y

$W \longrightarrow Y$

$\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow$

$X \longrightarrow\,\, Z$

es decir,$W = Y\times_Z X$$U = W\times_X V$. A continuación, si los ponemos juntos obtenemos el diagrama de

$U \longrightarrow W \longrightarrow Y$

$\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow$

$V \longrightarrow X \longrightarrow\,\, Z$.

El reclamo es ahora que el rectángulo exterior

$U \longrightarrow Y$

$\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow$

$V \longrightarrow\,\, Z$

es de nuevo un fibrado de la plaza (de manera horizontal morfismos son las composiciones de los morfismos en el único diagramas), es decir,$U = Y\times_Z V$.