Tensión RL en el inductor Ecuación diferencial

Question

Tengo un circuito RL simple como el que se muestra a continuación

y quiero derivar la ecuación diferencial que relaciona las tensiones de entrada y salida. Quiero tomar el voltaje de salida como el voltaje a través del inductor. Hasta ahora he hecho lo siguiente pero no estoy seguro de si estoy cometiendo un error o no, ya que no he sido capaz de encontrar un proceso similar en un par de libros e internet. Quiero hacer esto como ejercicio para hallar la transformada de Fourier de la salida.

Sé que la ecuación diferencial empieza así:

$$ V_{in}(t) = L\frac{di}{dt} + Ri $$

De lo que sé que la corriente \$i\$ es

$$ \frac{V_{out}(t) - V_{in}(t)}{R} $$

Reemplazo esto, y obtengo

$$ V_{in}(t) = \frac{L}{R}\left(\frac{dV_{out}}{dt} - \frac{dV_{in}}{dt}\right) + V_{out}(t) - V_{in}(t) $$

¿Es correcto? Sólo quedaría sustituir $$V_{in} = e^{jwt}$$ et $$V_{out} = H(w)e^{jwt}$$ y simplificar, consiguiendo

$$ H(w) = \frac{2+\frac{L}{R}jw}{1+\frac{L}{R}jw} $$

Creo que he cometido un error en alguna parte ya que este resultado se ve un poco raro.

Además: ¿se trata de un filtro de paso alto o de paso bajo? ¿Cómo puedo averiguarlo mirando la ecuación? ¿Y cómo encuentro la frecuencia de corte?

Answer 1

Te has equivocado en la segunda relación:

\$ i(t) = \dfrac{v_{in}(t)-v_{out}(t)}{R} \$

sustituyendo en la primera ecuación se obtiene:

\$ v_{in}(t) = \dfrac{L}{R}\left(\dfrac{dv_{in}}{dt} - \dfrac{dv_{out}}{dt}\right) + v_{in}(t) - v_{out}(t) \$

Así \$v_{in}\$ se anula en ambos miembros. Reordenando se obtiene:

\$ \dfrac{L}{R}\dfrac{dv_{out}}{dt} + v_{out} = \dfrac{L}{R} \dfrac{dv_{in}}{dt} \$

Por lo tanto:

\$ \dfrac{L}{R} \cdot j\omega V_{out} + V_{out} = \dfrac{L}{R} \cdot j\omega V_{in} \$

\$ H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ \dfrac{L}{R} j\omega } { 1 + \dfrac{L}{R} j\omega } \$

Esto es coherente con el enfoque estándar del dominio s para determinar la función de transferencia del sistema \$W(s)\$ . De hecho, si se sustituye el inductor por su equivalente en el dominio s \$sL\$ y aplicas la fórmula del divisor de tensión en el dominio s obtienes:

\$ V_{out}(s) = V_{in}(s) \dfrac{Ls}{R+Ls} \qquad \Leftrightarrow \qquad W(s) = \dfrac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \dfrac{Ls}{R+Ls} = \dfrac{\dfrac{L}{R}s}{1+\dfrac{L}{R}s} \$

y puesto que

\$ H(\omega)=W(j\omega)=\dfrac{ \dfrac{L}{R} j\omega } { 1 + \dfrac{L}{R} j\omega } \$

se puede ver que los dos métodos dan el mismo resultado.

Answer 2

En este tutorial se presenta el enfoque estándar en el dominio del tiempo: Ejemplo de análisis de circuito RL

En Dominio de frecuencia RL

En cuanto a tu pregunta, una forma fácil de ver si un circuito es paso alto es imaginarlo a CC y a frecuencia infinita (y quizá a una frecuencia intermedia) para ver si la transmisión es grande o nula. En este caso, a CC el inductor es un cortocircuito por lo que Vout estaría en cortocircuito a masa. A frecuencia infinita el inductor es un circuito abierto por lo que la transmisión sería 1. Por lo tanto, este debe ser un filtro de paso alto. La frecuencia de corte de un circuito de primer orden es uno sobre la constante de tiempo (L/R) en radianes. En otras palabras es R/L radianes.