Ideal en un anillo de funciones continuas

Question

Sea $R$ el anillo de funciones valoradas real continuas en el intervalo de unidad $[0,1]$ (con operaciones de pointwise) y que $I$ ser un ideal apropiado de $R$. Mostrar que existe $λ\in [0,1]$ tal que % $ $$I\subseteq M_{λ}= \left\{f \in R\mid f(λ)=0\right\}.$

No puede meterse en cualquier lugar con este. Agradeceria la ayuda.

Answer 1

Una forma de abordar esto es para mostrar directamente que la intersección de todos cero conjuntos de funciones en $I$ es no vacío.

Indicar el ajuste a cero de $f$$z(f)$. De curso $z(f)$ siempre está cerrado y no vacío para $f\in I$ (Si está vacía, la función es una unidad).

La siguiente observación es que la intersección de dos cero conjuntos de funciones $I$ es no vacío. Si al contrario $z(f)\cap z(g)=\emptyset$,$z(f^2+g^2)=\emptyset$, pero esto no es posible desde $f^2+g^2\in I$. A partir de esta prueba se puede ver que para cada $f$ $g$ en $I$, $f^2+g^2$ es otro elemento de $I$ cuyo ajuste a cero se acabo $z(f)\cap z(g)$. Por inducción, la intersección de un número finito de cero conjuntos es de nuevo un vacío puesta a cero de una función en $I$.

Ahora me reclama que en un espacio compacto, $\cap\{z(f)\mid f\in I\}$ es no vacío. Si se deja en blanco, los complementos de la $z(f)$ forma abierta que cubre el espacio. La extracción de un número finito de subcover, tenemos $\cap_{i=1}^n z(f_i)=\emptyset$. Pero ya hemos dicho que esto no es posible, por las observaciones en el último párrafo.

Por lo tanto,$\cap\{z(f)\mid f\in I\}\neq\emptyset$, y cualquier $\lambda$ en este conjunto hará el truco para tu pregunta.

Answer 2

$[0,1]$ Es compacto, todos ideales máximas parecen $M_\lambda$ (véase, por ejemplo, estas notas). Ahora tu pregunta sigue del hecho de que cualquier ideal está contenido en un ideal maximal.