Resolver, o aproximar infinitamente anidado integral

Question

Que $f$ dada por

$$f(x) = g(x) + \int_0^x\left(g(x_1) + \int_0^{x_1} \left( g(x_2) + \int_0^{x_2} \ldots d_{x_n} \ldots \right) d_{x_2} \right) d_{x_1}$$

donde $n \rightarrow \infty$ y $g(x)$ es estrictamente decreciente en $x$.

¿Cómo se puede solucionar o aproximado para tal integral?

Answer 1

Si $$h_n(x):=g(x) + \int_0^x\left(g(x_1) + \int_0^{x_1} \left( g(x_2) + \int_0^{x_2} \ldots d_{x_n} \ldots \right) d_{x_2} \right) d_{x_1} $$ converges to a limit function $$%h, entonces el auto similar naturaleza de esta expresión implica que $$g(x)+\int_0^x h(t) \mathrm{d}t=h(x). $ $ diferenciando da $$g'(x)+h(x)=h'(x), $ $ y utilizando el factor % integración $e^{-x}$le da a $$e^{-x} g'(x)=(e^{-x} h(x))'. $ $ así $$e^{-t} h(t) \big|_0^x=\int_0^x e^{-t} g'(t) \mathrm{d}t $ $ o $$h(x)=e^x g(0)+e^x \int_0^xe^{-t} g'(t) \mathrm{d} t .$ $ finalmente, una integración por las piezas da $$h(x)=g(x)+\int_0^x g(t) e^{x-t} \mathrm{d}t. $ $

Answer 2

Suponiendo que $g$ es diferenciable, se pueden diferenciar ambas partes dar $f'(x) = g'(x) + f(x).$ esto ahora es una ecuación diferencial ordinaria.

Answer 3

Observar:

$$ f(x) = g(x) + \int_0^{x} \left( g(x_1) + \int_0^{x_1} \left(... \right) \right) d_{x_1} = g(x) + \int_{0}^{x} g(x) + \int_{0}^{x}\int_0^{x_1} \left(... \right) d_{x_1}$$

Por lo tanto

$$ \frac{d}{dx} (f(x) - g(x)) = g(x) + \frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{x}\int_0^{x_1} \left(... \right) d_{x_1} \right) = $$

Dejando el interior: $\int_0^{x_1} \left(... \right) d_{x_1} = H(x_1)$ estamos tratando de resolver

$$ \frac{d}{dx} (f(x) - g(x)) = g(x) + \frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{x}H(x_1) d_{x_1} \right) = g(x) + H(x)$$

Por lo tanto tenemos

$$ \frac{d}{dx} (f(x) - g(x)) = f(x) $$

Por lo tanto

$$ f'(x) - g'(x) = f(x)$$

Ahora esto se puede solucionar relativamente fácilmente señalando

$$ f'(x) - f(x) = g'(x) $$

Por lo tanto

$$ e^x (f'(x) - f(x)) = e^x g'(x) $$

Por lo tanto

$$ (e^x f(x) ) ' = e^x g'(x) $$

Por lo tanto

$$ e^x f(x) = \int_{0}^{x} e^x g'(x) $$

Por lo tanto

$$ f(x) = e^{-x} \int_0^x e^{x} g'(x) dx $$

Answer 4

Otra manera: utilizando la fórmula de Cauchy para la integración repetida, $n$ doble integral puede reemplazarse por una integral: %#% $ de #% que conduce a la derecha cada vez %#% $ #% el intercambio de la integral y la suma usando la hipótesis de convergencia y que $$ (J^k f)(x) = \int_0^{x}\dotsi \int_0^{t_{n-1}} f(t_1) \, dt_n \dotsm dt_1 = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \, dt, $ es una asignación de contracción en el espacio de funciones.