No es el último teorema de Fermat

Question

Demostrar que la ecuación $n^a + n^b = n^c$ con $a,b,c,n$ enteros positivos, tiene infinitas soluciones si $n=2$ y no hay solución si $n\ge3$ .

Answer 1

¿Así que esto es el último teorema de Fermats al revés? Se me ocurre que si tenemos dos números binarios podemos sumarlos para obtener otra potencia de dos,

   1000000
   1000000
+ --------
  10000000

pero si tuviéramos dos números en base 3, digamos

  1000000
  1000000
+ -------
  2000000

no tendríamos tanta suerte.

Answer 2

Wlog $\,a \le b$ . Dividiendo por $n^a$ produce $\,1 + n^{b-a} = n^{c-a}$ $\Rightarrow$ $b=a\ $ (si no $\,n\mid1)\,$ $\Rightarrow$ $\, n = 2,\, c = a\!+\!1$ .

Answer 3

Si $n=2$ podemos tomar $a=k, b=k, c=k+1$ para cualquier $k \in \mathbb{N}$ .

Dejemos que $n \ge 3$ . Podemos suponer que $a, b, c \ge 0$ porque si no podríamos multiplicar el lado izquierdo y el derecho por $n^k$ para que sean positivos.

Ahora está claro que $c \ge a$ y $c \ge b$ . Entonces tenemos $n^a | n^c$ Por lo tanto $n^a | n^a + n^b$ y $a \le b$ . De la misma manera $b \le a$ . Así que $a = b$ . Por lo tanto, $2n^a = n^c$ y $n=2$ .

Answer 4

Suponiendo que $b>a$ :

$$n^b<n^a+n^b<n^{b+1}$$