¿Qué perdemos en los espacios proyectivos?

Question

Podemos pensar en los Números Complejos como una extensión de los Números Reales, del mismo modo podemos pensar en el Plano Proyectivo naturalmente como una bonita extensión del Plano Euclidiano. Pero, cuando pasamos de los números reales a los complejos perdemos algo de estructura, por ejemplo el ordenamiento total, nos $\textit{can't}$ preguntar por los pedidos más.

$\textbf{Question:}$ ¿Qué perdemos al trabajar en el plano proyectivo? En otras palabras, ¿qué cuestiones "euclidianas" no tienen sentido en el contexto proyectivo?

Answer 1

Se pierde la estructura de espacio vectorial e incluso la estructura afín e incluso la estructura de grupo aditivo cuando se pasa de $\mathbb C$ a $\mathbb P^1_\mathbb C$ .
Más concretamente, dados dos puntos en $\mathbb P^1_\mathbb C$ no tiene sentido hablar de su diferencia como un vector.
El contexto general es que $\mathbb C$ tiene características tanto algebraicas como geométricas mientras que $\mathbb P^1_\mathbb C$ no tiene ninguna estructura algebraica, pero tiene muchas estructuras geométricas:

Como espacio topológico, colector, colector riemanniano, superficie de Riemann [ ¡no es sinónimo de lo anterior!], espacio conforme, curva algebraica,...

Answer 2

Perdido: la estructura métrica: distancias, ángulos, áreas. Conservado: las incidencias. Véase http://www.nct.anth.org.uk/basics.htm .