Las condiciones para que un espacio topológico $X/A \cong X$, donde $A \subsetneq X$.

Question

Estoy seguro de que, en general, preguntando si o no $X/\tilde{}$ es homeomórficos a $X$ es complicado, pero estoy más preocupado por una cuestión en particular:

Decir $X \subseteq \mathbb R^n$ tiene un nivel suficientemente agradable de la estructura, tales como ser un compacto manifold con frontera (estoy más interesado en el estándar de los espacios, como $S^n$ o $\mathbb T^2$)

Es cierto que si $A \subsetneq\partial X$ es un cerrado y contráctiles subconjunto de $\partial X$, $X / A$ es homeomórficos a $X$?

Es claro que la homología se compromete por la escisión, pero no estoy seguro de si su fácil en general, a ver que tal homeomorphism. Creo que en dimensiones bajas que tal resultado sería razonable, pero no estoy seguro de cómo iba a demostrar tal afirmación.

Supongo que $2$-colectores no va a cambiar de género, por lo que podemos esperar este resultado para los colectores en tres dimensiones. $1$- colectores no va a cambiar, que creo que es claro.

Answer 1

La respuesta es negativa en las dimensiones de $\ge 4$. La correspondiente construcción es debido a Bing: comienza con una salvaje arc $A$ $S^3$ tal que $\pi_1(S^3-A)\ne 1$. Tomar el cociente $Y:=S^3/A$. No es un colector. De hecho, denotando $a$ la proyección de $A$$Y$, nos damos cuenta de que $a$ no tiene una base de vecindades $U_i$$\pi_1(U_i -a)=1$. Para obtener un ejemplo que usted está interesado en, considere la posibilidad de $X=B^4$.

Por otro lado, si usted toma una superficie de $S$ (tal vez con límite) y el contrato un pacto contráctiles subconjunto $A\subset S$ a un punto, entonces el cociente es todavía una superficie (esto es debido a Moore, quien resultó mucho más) y, por tanto, homeomórficos a $S$. (Basta saber que $A$ es "similar a la célula"; también se puede tomar el cociente de $S$ superior semicontinuo partición de ella en la celda-como subconjuntos compactos.)

De esto se sigue que su pregunta tiene respuesta positiva para $n=1, 2$ y, lo más probable, $3$ (pero esto último requiere un poco más de pensamiento).

Edit 1: ver también esta pregunta y las referencias que allí se indican.

Edición 2. La declaración, de hecho, tiene en la dimensión 3 así.

Teorema. Supongamos $M$ es un 3-dimensional de manifold con frontera, $A\subset \partial M$ es un compacto contráctiles subconjunto. A continuación, el cociente del espacio de $M/A$ es un manifold con frontera, mapa de $M\to M/A$ es un homotopy la equivalencia que es homotópica a una homeomorphism.

La prueba utiliza principalmente el Dehn Lema.