¿Por qué tomar terminaciones hace campos de número más simple?

Question

Actualmente estoy tomando un curso en los Campos de la región, y el local de la teoría de la imagen parece ser mucho más sencillo que el de los campos de número. Por ejemplo,

• Si $K$ es una extensión finita de $\mathbb Q_p$, $\mathcal O_K$ es un DVR, mientras que en los campos de número de caso, $\mathcal O_K$ es sólo un Dominio de Dedekind, y que ni siquiera necesita ser un UFD.

• Hay sólo un número finito de extensiones de grado determinado de un número finito de extensión de $\mathbb Q_p$

• Si $L/K$ es son extensiones de $\mathbb Q_p$, ambos con normalización de los valores absolutos y $m$ es un primer ideal de $\mathcal O_K$ (es decir, el único ideal maximal), entonces existe exactamente un primer ideal se encuentra por encima del $m$. A diferencia de en los campos de número de caso, donde un alojamiento ideal $\mathcal P$ puede tener múltiples números primos acostado sobre él.

Mi pregunta es

¿Qué es acerca de tomar las terminaciones que hace que la imagen sea mucho más sencillo?

Yo estaría interesado en ver ejemplos en los que el hecho de que $\mathbb Q$ no es completa, causa más complicaciones, tales como los mencionados anteriormente.

Answer 1

Puedo añadir más alebro-intuición geométrica, si quieres (como en los comentarios anteriores), pero aquí hay una diferencia concreta:

Teorema: Vamos a $F$ ser un completo campo, y $V$ un finito dimensionales $F$-espacio. Entonces, todas las normas en $F$ son equivalentes.

Ahora, vamos a $L/F$ ser una extensión. Entonces, no equivalentes de las normas sobre el $L$ corresponden a diferentes números primos $\mathfrak{p}$ (aquí se $\mathfrak{p}$ es el primer definir el valor absoluto en $F$), este topológico hecho obliga no sólo a ser uno prime sobre $\mathfrak{p}$!

Answer 2

A menudo teoría será "más fácil" con terminaciones. Por ejemplo, si tenemos en cuenta formas cuadráticas con coeficientes en un campo número $K$. Entonces tal forma representa $0$ $K$ si y solamente si representa $0$ en cada terminación de $K$. Este resultado se llama Teorema de Hasse-Minkowski. Aquí la cuestión de la representación de cero en cada terminación es a menudo mucho más simple que en el caso de campo número.