Me gustaría ser capaz de construir polinomios $p$ cuyas gráficas se parecen a este:
Podemos suponer que el intervalo de interés es $[-1, 1]$. Los requisitos en $p$ son:
(1) Equi-oscilación (o aproximadamente igual, de todos modos) entre los dos extremos. Una variación de 10% en los valores de los extremos estaría bien.
(2) los valores Cero y derivados en los extremos del intervalo, es decir, $p(-1) = p(1) =p'(-1) = p'(1) = 0$
Yo quiero hacer esto por grados hasta alrededor de los 30 o así. Sólo hasta grados sería ACEPTAR.
Si ayuda, estas cosas son un poco como los polinomios de Chebyshev (pero diferentes en los extremos).
El de la foto, tiene por ecuación $0.00086992073067855669451 - 0.056750328789339152999 t^2 + 0.60002383910750621904 t^4 - 2.3217878459074773378 t^6 + 4.0661558859963998471 t^8 - 3.288511471137768132 t^{10} + t^{12}$
Me llegó a través de la fuerza bruta métodos numéricos (resolver un sistema de ecuaciones no lineales, y después de hacer un montón de trabajo para encontrar buenos puntos de partida para la iteración). Estoy buscando un enfoque más inteligente y más fácil de implementar en el código.
Aquí es una idea que podría funcionar. Supongamos que queremos un polinomio de grado $n$. Comience con el polinomio de Chebyshev $T_{n-2}(x)$. Deje $Q(x) = T_{n-2}(sx)$, donde el factor de escala $s$ es elegido de manera que $Q(-1) = Q(1) = 0$. A continuación, vamos a $R(x) = (1-x^2)Q(x)$. Esto cumple con todos los requisitos, excepto que sus oscilaciones son muy desiguales, son muy pequeñas cerca de $\pm1$ demasiado grandes y cerca de cero. Redistribuir las raíces de $R$ un poco (de alguna manera??) a nivel de las oscilaciones.
Comentarios sobre respuestas
El uso de la técnica sugerida por achille hui en una respuesta de abajo, podemos muy fácilmente construir un polinomio con la forma deseada. Aquí hay uno:
El único problema es que yo estaba esperando un polinomio de grado 12, y este tiene grado 30.
También, yo estaba esperando que la solución a crecer monótonamente fuera del intervalo de $[-1,1]$, y esto no se, como se puede ver aquí: