Un irreductible de la cadena de Markov es recurrente si y sólo si todos los no-negativo, superharmonic función de $f$ es constante.
Aquí es un típico no negativo, superharmonic función de $f$: seleccione un estado, decir $0$ y definir
$f(x)=\mathbb{P}_x(T<\infty)$ donde $T:=\inf(n\geq 0: X_n=0)$ es el golpear el momento de la $0$.
Queremos averiguar si esta función es constante o no.
Su cadena de Markov tiene más estructura que nos permite calcular esta función de forma explícita.
Para cada una de las $i> 0$, definir la relación de $r_i=p_{i,i-1}/p_{i,i+1}$ y definir
la siguiente función utilizando productos de relaciones:
$$f_z(x)={\sum_{y=x}^z r_{1}\cdots r_y \over \sum_{y=0}^z r_{1}\cdots r_y}.$$
Aquí $r_{1}\cdots r_0$ es el vacío de producto, es igual a 1.
Nuestra función $f$ es el límite de $f_z$$z\to\infty$.
Como Hizo señala que la razón por la pointwise convergencia es que $f_z(x)$ es la probabilidad de que la cadena de golpes de estado $0$ estado $z+1$, a partir de $x$.
Si $\sum_{y=0}^\infty (r_{1}\cdots r_y)=\infty$,$f(x)\equiv 1$, y la cadena es recurrente.
Si $\sum_{y=0}^\infty (r_{1}\cdots r_y)<\infty$, $f$ no es la función constante
$$ f(x)={\sum_{y=x}^\infty r_{1}\cdots r_y \over \sum_{y=0}^\infty r_{1}\cdots r_y}.$$
y la cadena es transitorio. La función de $f$ no es constante desde $f(x)\to0$$x\to\infty$.
En su problema particular, $r_i=i^2/(i+1)^2$ así que los productos de los coeficientes de cancelar bien
dando a $r_{1}\cdots r_y=1/(y+1)^2$. Desde $\sum_{y=0}^\infty 1/(y+1)^2<\infty$ vemos que la cadena es transitorio.
