¿Aproximación de una función medible acotada con funciones de paso?

Question

Estoy teniendo problemas para juzgar si esta afirmación es correcta:

Para una arbitraria acotado medible función de $f$ definido en $[0,1]$, $\exists{}\ $una secuencia de paso de las funciones de $\{\phi_n\}$, de tal manera que $\{\phi_n\}$ converge a $f$ pointwisely una.e. en $[0,1]$.

Por la Simple Aproximación Teorema, esto es cierto si se nos permite utilizar funciones simples. Pero tengo curiosidad de saber si esto se mantiene cuando nos limitamos a paso las funciones de sólo.

Tengo la sensación de que esto no puede ser verdad, porque para un medibles función, su dominio puede ser demasiado "roto" para ser instalado por el paso de las funciones. Pero no sé cómo encontrar un contra-ejemplo...

Así que ¿alguien puede ayudarme a encontrar un contraejemplo o confirmar que esto es correcto?

Muchas gracias!

Edit: Por una función de paso me refiero a un (finito) combinación lineal de funciones de los indicadores para los intervalos.

Answer 1

así que, voy a tratar de escribir lo que recuerdo. Deje $n \in \mathbb N$. Por Lusins teorema hay un $H_n \subseteq [0,1]$ cerrado con $\lambda([0,1] - H_n) &lt \frac 1n$ $f|_{H_n}$ continuo. Por la extensión de Tietze teorema es continua,$f_n\colon [0,1] \to \mathbb R$$f_n|_{H_n} = f$. Ahora, para cada $k$ \[ \lambda\left(|f_n - f| \ge \frac 1k\right) \0, \quad n \to \infty \] Por lo tanto, podemos elegir una larga $(f_{n_k})$ $\lambda(|f_{n_k} - f| \ge \frac 1k) &lt 2^{-k}$ por cada $k$. Deje $N = \bigcap_k \bigcup_{\ell \ge k} \{|f_{n_\ell} - f| \ge \frac 1\ell\}$. Deje $x \in [0,1]\setminus N$, entonces no es un $k$ tal que para $\ell \ge k$ tenemos $|f_{n_\ell}(x) - f(x)| &lt \frac 1\ell$ y, por tanto,$f_{n_k}(x) \to f(x)$. Pero $\lambda(N) \le \sum_{\ell \ge k} 2^{-\ell}$ por cada $k$, yo. e. $\lambda(N) = 0$, por lo $f_{n_k} \to f$. e. en $[0,1]$.

Desde cada una de las $f_{n_k}$ es continua podemos elegir una función de paso de $s_k$$\|f_{n_k} - s_k\|_\infty \le \frac 1k$. Pero, a continuación, para $x \not\in N$ \[ s_k(x) = s_k(x) - f_{n_k}(x) + f_{n_k}(x) \a 0 + f(x) = f(x) \] yo. e. $f$ es casi en todas partes límite del paso a paso de las funciones.