Demuestra que $A\in\mathbb{C}_n$ es normal $\iff$ $tr(A*A) = \sum_{i = 1}^n|\lambda_i|^2$ , donde $\lambda_1,...,\lambda_n$ son los valores propios de $A$ .

Question

Título reformulado: Demostrar que $A\in\mathbb{C}_n$ es normal $\iff$ $tr(A^*A) = \sum_{i = 1}^n|\lambda_i|^2$ , donde $\lambda_1,...,\lambda_n$ son los valores propios de $A$ .

Esta pregunta proviene de "Matrices y transformaciones lineales" de Charles Cullen. Estoy estudiando para un examen y estoy tratando de hacer algunos problemas pero estoy teniendo problemas con este. Cualquier ayuda se agradecería.

Gracias.

Answer 1

Existe una matriz unitaria $U$ tal que $A=UTU^*$ , donde $T$ es una matriz triangular superior con diagonal $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ .

Ahora $tr(A^*A)=tr(AA^*)=tr(UTU^*UT^*U^*)=tr(UTT^*U^*)=tr(TT^*)$ .

Si $T$ no es diagonal, entonces $tr(TT^*)>\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2$ . Si $T$ es diagonal entonces $A$ es normal.