Pruebalo $G=S_{1}\times S_{2}\times\cdots\times S_{k} $

Question

Que $G$ ser un grupo finito y que $N_1,N_2,\ldots,N_k$ subgrupos normales. Supongamos que $\bigcap_{i=1}^{k}N_{i}=\{1\}$ y que $G/N_i=S_i$ es simple. Si todos los grupos $S_i$ son no-isomorfos demostrar que $G=S_{1}\times S_{2}\times\cdots\times S_{k}$.

Ayudenme algunos consejos.

Answer 1

He mencionado antes que la inducción era una buena sugerencia, pero recibió poca respuesta así que siento que la mejor cosa a hacer es escribir las cosas correctamente.

Por lo tanto, permite el uso de la inducción en $k$.

Para el caso de al$k=1$,$N_1=1$$S_1 \equiv G/N_1 \equiv G$.

Supongamos por inducción tenemos el resultado para todos los naturales de menos de o igual a $k$, y considerar la posibilidad de $k+1$. Ahora, vamos a $N= \bigcap_{i=1}^k S_i$. Tenemos $N \cap N_{k+1}=1$ $N \cdot N_{k+1}$ es un subgrupo de $G$ isomorfo a $N \times N_{k+1}$. Si $gh \in N \cdot N_{k+1}$$c \in G$,$cghc^{-1}=(cgc^{-1})(chc^{-1}) \in N \cdot N_{k+1}$, de modo que $N \cdot N_{k+1}$ también es normal. Ahora, $N \cdot N_{k+1}$ contiene $N_{k+1}$ $G/N_{k+1}$ es simple, por lo $N \cdot N_{k+1}$ deben $N_{k+1}$ o $G$.

Supongo que es $N_{k+1}$. A continuación,$N \subset N_{k+1}$$\bigcap_{i=1}^k N_i=\bigcap_{i=1}^{k+1} N_i=1$. Así, por la suposición inductiva, podemos concluir que $G \equiv S_1 \times ... \times S_k$. Aviso que esto le da una buena elección de la composición de la serie para $G$. En particular, tomamos $1 \subset S_1 \subset S_1 \times S_2 \subset ... \subset S_1 \times S_2 \times... \times S_k=G$ y observamos que los coeficientes son $S_i$$1 \leq i \leq k$. Ahora, también podemos hacer otra composición de la serie tomando $N_{k+1}$ como máximo de los subgrupos y continuar desde allí (por la finitud, esta serie va a terminar). Pero ahora tenemos una contradicción, porque uno de los cocientes de esta serie es$S_{k+1}$, pero este no aparece en la otra serie y por Jordania-Titular, estos deben ser los mismos.

Por lo tanto, $N \cdot N_{k+1}=G$$G/N_{k+1} \equiv N$. Lo que esto significa es que para cada una de las $g \in S_{k+1}$, podemos encontrar algunos de $h \in N$, de modo que $h \cong g \mod N_{k+1}$. Por otra parte, vemos que si tomamos el mapa de $T: G \to S_1 \times ... \times S_{k+1}$ dado por la proyección en cada coordenada, a continuación,$h \mapsto (1,1,...,g)$.

Aviso de que nuestra elección de $k+1$ aquí frente a cualquier otro $i$ $1 \leq i \leq k+1$ fue arbitraria. En otras palabras, para cada una de las $N_i$$g_i \in N_i$, podemos producir $h_i$, de modo que $h_i \mapsto (1,1,...,g_i,...,1)$. Esto muestra que el mapa en cuestión es un surjection como se desee.