Probar un teorema sobre números perfectos

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema:

Teorema. Un número es perfecto si la suma de los recíprocos de sus divisores, excepto $1$$1$.

Hasta ahora, esta es la prueba de que he logrado coser:

Prueba. Deje $n$ ser perfecto. A continuación,$2n=1+a_1+a_2+\cdots+a_m+n$, donde cada una de las $a_j$ es un divisor de a $n$. Por otra parte, vamos a $1<a_j<a_{j+1}<n$. De ello se sigue que $2=\frac{1}{n}+\frac{a_1}{n}+\frac{a_2}{n}+\cdots+\frac{a_m}{n}+1\Longrightarrow$ $1=\frac{1}{n}+\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_{m-1}}+\cdots+\frac{1}{a_1}$, como se requiere. Por el contrario, vamos a $1=\frac{1}{n}+\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_m}$. De ello se sigue que $1=\frac{1}{n}+\frac{a_m}{n}+\frac{a_{m-1}}{n}+\cdots+\frac{a_1}{n}\Longrightarrow$ $n=1+a_1+a_2+\cdots+a_m$. Por lo tanto, $n$ es perfecto. $\square$

Sin embargo, no me siento muy confiado. ¿Ustedes qué piensan?

Answer 1

Que $a$ ser un número perfecto, mi '$a$' tiene $n$ factores.

Según número de perfecto,

$a=a_1+a_2+a_3+...a_n$

$a_1=1$

$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+...\frac{1}{a_n}$

Tenga en cuenta que

$a_1.a=a$

$a_2.a_n=a$

.

.

.

$a_n.a_2=a$

Seguramente usted puede tomar desde aquí.