Encuentra todos los pares de enteros positivos que suman$667$ y su$\frac{\text{lcm}}{\text{gcd}} =120$

Question

Sea$x,y$ enteros positivos,$x<y$, y$x+y=667$. Dado que$\dfrac{\text{lcm}(x,y)}{\text{gcd}(x,y)}=120,$ encuentra todos esos pares$(x,y)$.

La única manera que puedo pensar en resolver esto es probar todas las posibilidades en las que un número es impar y el otro incluso, y probarlos a todos. Usando esto, encontré una solución,$(115,552)$, pero me pregunto si hay una manera más eficiente de hacer este problema.

Answer 1

Si un número divide a $x$$y$, entonces el número se divide $x+y$. Por lo tanto, $\gcd(x,y)$ es un divisor de a $667$.

Desde $667=23\times 29$ sólo hay $4$ de los casos.

Si $\gcd(x,y)=1$ obtenemos $\text{lcm}(x,y)=120$, claramente imposible, ya que uno de los números es mayor que $120$.

Si $\gcd(x,y)=23$$\text{lcm}(x,y)=23\times 120$, dividiendo todo por $23$ debemos encontrar coprime $x'$ $y'$ que añadir a $29$ y que el producto sea igual a $120$. La solución de la ecuación cuadrática conduce a $(5,24)$ $(24,5)$

Si $\gcd(x,y)=29$, entonces debemos encontrar coprime $x'$ $y'$ que añadir a $23$ producto $120$. La solución de la ecuación cuadrática conduce a $(8,15)$ $(15,8)$

Si $\gcd(x,y)=23\times 29$, entonces debemos encontrar $x',y'$ que añadir a $1$ producto $120$, claramente imposible.

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Así que las únicas soluciones son $(5\times 23,24\times 23),(24\times 23, 5\times 23),(8\times 29, 15\times 29),(15\times 29,8\times 29)$

Answer 2

Digamos) $\dfrac xX=\dfrac yY=(x,y)=d$

$\implies(X,Y)=1$

Como $120=\dfrac{XYd}d=XY$

El posible conjunto de valores de$120=1\cdot120,2\cdot60,3\cdot40,4\cdot30,5\cdot24,6\cdot20,8\cdot15,10\cdot12$ tal que$(X,Y)$ son$X<Y;(X,Y)=1$

Ahora use el hecho de que$\{(1,120);(3,40);(5,24);(8,15)\}$ es un entero positivo para encontrar el posible conjunto de valores de$\displaystyle667=x+y=d(X+Y)\implies\dfrac{23\cdot29}{X+Y}=d$ a ser$(X,Y)$