cardinalidad de Y =$\{(x_n)\ : x_n=1\}$ para un máximo finito muchos$n$

Question

Sea$X$ el conjunto de todas las secuencias binarias ie$X=\{(x_n) : x_n \in \{0,1\}, n \in \mathbb{N}\}$ y Y su subconjunto tal que Y =$\{(x_n)\in X : x_n=1 \text{ for at most finitely many } n \}$. Es claro que$X$ es incontable usando el argumento de diagonalización de Cantor.

Pero Y debe ser un derecho contable? Como creo que podemos enumerar y por lo tanto tienen una función 1-1 con$\mathbb{N}$. ¿Estoy bien?

Answer 1

Recordemos que la unión contable de conjuntos contables es nuevamente contable. Si definimos$U_k = \{(x_n) | x_n = 0\; \forall k > N\}$, entonces podemos observar lo siguiente:

1) Cada$U_k$ es un subconjunto de$Y$ ya que cada$(x_n)\in U_k$ contiene como máximo$k$ entradas que son iguales a 1. Esto significa que$\bigcup_{k\in\mathbb{N}} U_k \subseteq Y$.

2) Cada$U_k$ es finito. De hecho, $|U_k| = 2^k$.

3)$Y \subseteq \bigcup_{k\in \mathbb{N}} U_k$.

1 y 3 juntos muestran que$Y = \bigcup_{k\in \mathbb{N}} U_k$. En conjunto hemos demostrado que$Y$ es la unión contable de conjuntos contables, y por lo tanto$Y$ sí mismo es contable.