¿Expresar el producto como convolución? O, dado $f(s)$ , encontrar $g$ Satisfaciendo a $f(s)=\mathbb{E}[g(X)]$ donde $X\sim \mathcal{N}(0,s^2)$

Question

Dada una función $f(\mu)$ (que satisface ciertas propiedades), es posible encontrar una función $g(x)$ tal que $f(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\phi(x-\mu) dx $ , donde $\phi$ es la densidad normal estándar. De hecho, $g=\widehat{\widehat{f}/\widehat{\phi}}$ donde hat denota la transformada de Fourier (puede que falten algunas constantes ahí, dependiendo de la convención).

Estoy tratando de averiguar si se puede derivar algo similar para la desviación estándar en lugar de la media, es decir, dado algún $f(\sigma)$ , encontrar $g$ s.t. $f(\sigma)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)dx=\mathbb{E}g(\sigma X)$ donde $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ .

Si pretendemos que $X$ es positivo durante un segundo, entonces se escribe $g(\sigma X)=g(\exp(\log(\sigma)+\log(X)))$ tenemos, definiendo $g_0(z)=g(\exp(z))$ que $\mathbb{E}g(\sigma X)=\mathbb{E}g_0(\log(\sigma)+\log(X))$ que (después de encontrar la distribución de $\log(X)$ ) se vería como una convolución, y el mismo enfoque que se utilizó anteriormente para $\mu$ podría funcionar.

Ahora, $X$ no es positivo, pero podría ser razonable decir que $g$ debería ser simétrica de todos modos, no hay razón para que no lo sea. Así que podemos buscar $g$ tal que $f(\sigma)=\mathbb{E}g(\sigma |X|)$ y entonces el enfoque anterior requerirá calcular la transformada de Fourier de la densidad del logaritmo de la normal "doblada".

Pero antes de que intente sumergirme en eso ¿a alguien le suena esto? ¿Me falta algo que haga esto mucho más fácil o imposible? (¿Debería preguntar esto en mathoverflow?)

Pregunta extra: versión multivariante del mismo problema, es decir, con $f(\Sigma)$ . Esta es realmente la versión que necesito resolver, y como el enfoque del valor absoluto no parece que vaya a funcionar aquí, estoy tratando de evitarlo...

Answer 1

La respuesta corta es sí y lo que quieres hacer es trabajar en el grupo topológico $\mathbb{R}^*$ equipado con la medida de Haar $\mu(A) = \int_A \frac{1}{|x|}dx$ .

Esencialmente computa lo que se computa con log porque $e^x : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^*_{\geq 0}$ es un mapa de grupos topológicos. Toma el intervalo $[a,b]$ a $[e^a,e^b]$ . El tamaño de $[e^a, e^b]$ en $\mathbb{R}^*$ con la medida de Haar anterior es $b=log(e^b)-log(e^a)=a$ que es la medida de $[a,b]$ en $\mathbb{R}$ .

Toma $\Psi (y) = \frac{1}{|y|}\phi(\frac{1}{y})$ . Para calcular $f(\sigma)$ como una convolución considere

$$\begin{eqnarray*} f(\sigma) &=& \frac{1}{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\phi(\frac{x}{\sigma})dx\\ &=& \frac{1}{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\Psi(\frac{\sigma}{x})\frac{\sigma}{|x|}dx\\ &=& \int_{\mathbb{R}^*}g(x)\Psi(\sigma x^{-1})d\mu\\ &=& (g * \Psi)(\sigma). \end{eqnarray*}$$

Ahora puedes probar la misma estrategia para la computación $g$ utilizando la teoría de Fourier para $\mathbb{R}^*$ .