Funciones que satisfacen 4 de las 5 propiedades del producto interno

Question

Consideremos la función $s:K^m \times K^m \mapsto K$ (aquí se $K = \mathbb{R}$ o $K = \mathbb{C}$). Si $\forall x, y, z \in K, \forall \lambda \in K$

1. $s(x + y, z) = s(x, z) + s(y, z)$
2. $s(\lambda x, y) = \lambda s(x, y)$
3. $s(y, x) = \overline{s(x, y)}$
4. $s(x, x) \geq 0$
5. $s(x, x) = 0 \Longrightarrow x = 0$

a continuación, $s$ es llamado producto interior.

Problema. Para cada una de las $n = 1, 2, 3, 4, 5$ encontrar una función $s$ que no satisfacen las $n$-ésimo de la propiedad y satisface los cuatro restantes.

Primero considere el $K = \mathbb{R}$. He encontrado los siguientes:

$n = 3, s(x, y) = xy^3$

$n = 4, s(x, y) = -xy$

$n = 5, s(x, y) \equiv 0$

¿Cómo puedo abordar $n = 1, 2$? Tal vez tengo que elegir la $K = \mathbb{C}$ para aquellos?

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Edit: he cambiado el dominio de $s$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $K^m \times K^m$porque

1) si $\lambda \in \mathbb{C}$ $\mathbb{R}$ no está cerrado w.r.t. la multiplicación escalar y

2) si $s: K \times K \mapsto K$ y de 2 a 5 mantener y 1 deben tener.

Answer 1

Casos $n = 3, 4, 5$ han sido mostrados en el OP.

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Caso $n = 1$.

Primero vamos a $m = 1$. Tomar la propiedad 2 y elija $x = 1$$s(\lambda, y) = \lambda s(1, y)$. Denotar $s(1, y) = f(y)$$s(x, y) = x f(y) \ \forall x, y$. Por la propiedad de simetría, $s(x, y) = \overline{y f(x)}$. Por lo tanto

$$\frac{f(y)}{\overline{y}} = \frac{\overline{f(x)}}{x} = c = \text{const}$$

debido a $x, y$ puede ser de cualquiera de los elementos de $K$.

Esto inmediatamente le da $s(x, y) = c x \overline{y}$. Es fácil ver que 3-5 mantener, así, si $c \in \mathbb{R}$$c > 0$. La inserción en 1, vemos que se mantiene, así.

Así que no hay tales funciones para $m = 1$.

Para $m = 2$ hay un ejemplo fácil. Deje $K = \mathbb{R}$ y denotan $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$. Vamos

$$s(x, y) = \sqrt[3]{(x_1 y_1)^3 + (x_2 y_2)^3}.$$

Obviamente, las propiedades de 2-5 espera pero 1 (aditividad) no.

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Caso $n = 2$.

Deje $K = \mathbb{R}$.

Para las funciones $\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$ es un lugar famoso funcional de la ecuación llamado de Cauchy funcional de la ecuación. De matemáticas.SE dispone de algunos resultados acerca de lo recopilado aquí. $f(x) = cx$ es siempre una solución para cualquier $c \in \mathbb{R}$. Si nada más se sabe acerca de la $f$, entonces también existen otras soluciones. Esas soluciones son discontinuos en todas partes. Su existencia puede ser mostrado usando Hamel base y requiere el Axioma de Elección.

Nos deja denotar uno de esos discontinuo solución de $h(x)$. Escojamos $s(x, y) = h(x)h(y)$. Luego de la propiedad 1 es por la construcción. Propiedades 3, 4, obviamente, espera. 2 no tienen porque, como vimos, en este caso la homogeneidad implica $s(x, y) = cxy$, pero $h(x) \neq c_1 x$ por la construcción, por lo $h(x)h(y) \neq cxy$. No podemos decir nada acerca de la propiedad 5, por lo que debe ser tenido en cuenta a la hora de elegir la base de Hamel.

Los resultados acerca de la ecuación de Cauchy fácilmente generalizar el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^m$. Es decir, $f(x) = \sum_{j=1}^m c_j x_j$ resuelve la ecuación de Cauchy para $x \in \mathbb{Q}^m$ $s(x, y) = \sum_{j=1}^m c_j x_j y_j$ satisface nuestra aditividad de la propiedad para $x, y \in \mathbb{Q}^m$. Si ampliamos esta solución a $\mathbb{R}^m$ natural $s(x, y) = \sum_{j=1}^m c_j x_j y_j$ $\forall x, y \in \mathbb{R}^m$ entonces es necesariamente homogéneo y todas las propiedades 1-5 mantenga pulsado el botón (si $c_j>0$). Por lo tanto es poco probable que un simple ejemplo (que es, sin la Hamel base de la construcción) se puede encontrar en $\mathbb{R}^m$.