Encontrar asíntotas verticales de $ \frac {3x^4 + 3x^3 - 36x^2}{x^4 - 25x^2 + 144}$

Question

Estoy tratando de encontrar las asíntotas verticales para $$f(x) = \frac {3x^4 + 3x^3 - 36x^2}{x^4 - 25x^2 + 144}$$

Si entiendo correctamente, la asíntota vertical existe en $x=a$ cuando un valor $a$ se encuentra de tal manera que $f(a)$ aumenta a $∞$ .

Así que debemos encontrar un número que sea infinitamente pequeño en el denominador, o en otras palabras, $0$ .

Configuración $$x^4 - 25^2 + 144 = 0$$

$$(x^2 - 9)(x^2 - 16) = 0$$ $$(x+3)(x-3)(x+4)(x-4) = 0$$

Así que basado en mi entendimiento, $[-4, -3, 3, 4]$ deberían ser valores de $a$ donde $x = a$ es una asíntota vertical.

Al graficar esta función, puedo ver claramente que sólo hay asíntotas verticales en $x = 4$ y $x = -3$ .

¿En qué me equivoqué en mi teoría?

Answer 1

Los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero (en este caso $3,-3,4,-4$ ) son los candidatos para las asíntotas verticales.

También tienes que ver qué valores de $x$ hacer que el numerador sea cero. Si ambos son cero, entonces es posible que tengas un singularidad extraíble no una asíntota. Por ejemplo, considere $$ \frac {x-2}{x-2}$$

Answer 2

Pista:

Al factorizar el numerador tenemos \begin {alinear} 3x^4+3x^3-36x^2&=3x^2(x^2+x-12) \\ &=3x^2(x+4)(x-3) \end {alinear} Luego $$ \frac {3x^4+3x^3-36x^2}{x^4 - 25x^2 + 144}= \frac {3x^2(x+4)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x+4)(x-4)}= \frac {3x^2}{(x+3)(x-4)} \qquad x \neq -4, x \neq 3$$ Por lo tanto, el límite de la función cuando $x \to -4$ y $x \to 3$ son finitos, por lo tanto no hay asíntotas en estos puntos.