Investigación en Matemáticas (Formalidades vs. Resultados)

Question

Esta pregunta está destinada a resolver un dilema interno que he tenido últimamente. Supongo que la mayoría de los que han pasado por el proceso de la investigación matemática en algún momento, consideró que este así. Por lo tanto, yo estaría muy agradecido de cualquier entrada que uno tiene sobre el tema.

Recientemente he visto una dicotomía en la investigación en matemáticas. Esta dicotomía se encuentra en la diferencia entre formal y completamente justificado matemáticas, y las matemáticas que la hipótesis es correcta, pero no tan bien justificado.

Puedo estar equivocado en estos supuestos, y si es así por favor aclarar. En matemáticas, estamos obligados a hacer una elección, en algún sentido. Aceptamos los axiomas nos da como realmente la base para las matemáticas construido a partir de entonces? O hemos de asumir nada y fondo de demostrar todo? He llegado a esta evaluación, por muchas razones. Particularmente, tengo dos profesores de este semestre. Un profesor es muy informal, y en un sentido proporciona menos razonamiento entonces satisfactoria a veces. Por otro lado, no es muy formal profesor que cubre cada punto en la profundidad (es decir, "Primero se debe probar la existencia, entonces debemos demostrar la propiedad, entonces debemos probar la unicidad, ahora aplicar este teorema y el uso de la prueba de la justificación." -Prof. "Pero señor, es el algoritmo de la división... ¿Es "necesario" para demostrar la existencia y, a continuación, justificar el uso del algoritmo una vez que hemos probado es la verdad?" - Estudiante).

Para uno que sabe que quieran participar en matemáticas de la investigación a sí mismos, ¿cómo se podía resolver este conflicto? Es una filosofía en sí misma? Podemos hacer una elección de esta filosofía y, a continuación, predicar como es? O debemos simplemente aceptar que el conflicto reside y simplemente con un cepillo para el lado para lograr romper el terreno de los resultados (ya sea basado en falsas realidades en el primer lugar o no).

Gracias de antemano. Si esta pregunta se ha hecho antes de que me podía encontrar, y que se acepte la dirección de cualquier manera posible.

Answer 1

Creo que hay dos cuestiones diferentes aquí. Como @almagesto, dijo, en la práctica, la mayoría de los matemáticos evitar indebidamente la atención al detalle como lo más probable es que se considera dedicación por parte de sus compañeros que, se supone, leer los periódicos. Por supuesto, eso no significa que todos los documentos tienen que ser iguales y sin duda hay buenos y malos autores. Por desgracia, expositivo competencias generalmente no son recompensados en la investigación, por lo que la mayoría de las personas el objetivo no es escribir artículos que son fáciles de leer y entender. (Y este no es la misma como la atención al detalle. Sólo quería destacar que hay diferentes estilos de allí.) Hay un par de famosos matemáticos que fueron conocidos por ser muy de la mano "ondulado" a pesar de que sus resultados se considera importante o trascendental. (Por ejemplo, Rota en "Indiscreta Pensamientos", dice acerca de Lefschetz que él nunca había dado una completamente correcta la prueba, pero nunca había hecho un mal supongo que bien... :)

Un buen ejercicio sería leer un par de los actuales trabajos de investigación por diferentes autores en el área de su elección para tener una idea de cómo "formal" que son.

Por otro lado, usted ha hablado de la paradoja de Russell y eso es completamente diferente taza de té como esto es acerca de las fundaciones. Esta es un área donde la atención al detalle y formalidad son a veces crucial, ya que pequeñas desviaciones en los axiomas y las definiciones pueden resultar en grandes diferencias en el resultado de las teorías. Una temprana y influental ejemplo es de Hilbert "Grundlagen der Geometrie" que de una manera no añade nada nuevo a Euclides de la geometría sino que examina sus fundamentos lógicos y trata de aclarar.