¿Ejemplo de parcial el fin de que ' s no es un orden Total y por qué?

Question

Estoy buscando un ejemplo sencillo de un orden parcial que no es un orden total para que yo puedo entender el concepto y la diferencia entre los dos.

Una explicación de por qué el ejemplo es una orden parcial pero no un orden total sería también muy apreciada.

Answer 1

Piense acerca de los subconjuntos de a $\{0,1\}$. Ellos son: $\emptyset, \{0\}, \{1\}$, e $\{0,1\}$. Ahora bien, podemos hacer estos subconjuntos dentro de un orden parcial con $\subset$. Por ejemplo, $\emptyset \subset \{0\}$$\{1\} \subset \{0,1\}$. Usted puede mostrar esto satisface los axiomas de un orden parcial:

$A \subset A \\ A \subset B, B \subset C \Rightarrow A \subset C \\ A \subset B, B \subset A \Rightarrow A = B$

Pero un orden total $<$ cae el primer axioma de arriba y lo reemplaza con lo siguiente:

$x < y$ o $y < x$ todos los $x,y$

Y vemos que nuestro ejemplo de subconjuntos de a $\{0,1\}$ no satisface este. Por ejemplo, el ni $\{0\} \subset \{1\}$ ni $\{1\} \subset \{0\}$ son verdaderas. En un orden total, queremos ser capaces de comparar dos elementos. En un orden parcial, no.

Answer 2

Tomar tu conjunto favorito, que es $\,X:=\{a,b\}\,$ y entonces su poder establecer

$$P(X):=\left\{\emptyset\,,\,X\,,\,\{a\}\,,\,\{b\}\right\}$$

Orden parcial $\,P(X)\,$ establecido por inclusión: $\,A\le B\iff A\subset B\;,\;\;A,B\in P(X)\,$

Lo anterior es un orden parcial no total .

Answer 3

Hay algunas pequeñas diferencias en la forma de definir el orden (parcial o total). A grandes rasgos, que corresponden a la diferencia entre el$\lt$$\le$. Optamos por el $\le $ versión. Sin duda, usted puede adaptar el ejemplo a continuación de la otra versión, si es que las que se utilizan en el curso.

Deje que nuestro conjunto se $\{1,2,3,6\}$. Si $x$ $y$ son los elementos de este conjunto, vamos a decir que $x\le y$ si $x$ divide $y$. Así, por ejemplo,$2\le 6$, e $3\le 3$.

Tenga en cuenta que es no cierto que $2\le 3$, ya que el $2$ no divide $3$. Además, no es cierto que $3\le 2$. Los dos objetos $2$ $3$ son incomparables con respecto a la orden definido.

En un total del orden de $\le$, cualquiera de los dos objetos de $x$ $y$ son comparables. Cualquiera de las $x\le y$ o $y\le x$ o ambos. ("Ambos" ocurre cuando el $x=y$.)

Para un no-matemático ejemplo, supongamos $A$ ser el conjunto de todas las personas. Si $x$ $y$ son personas, escribir $x\le y$ si $x=y$ o $x$ es un ancestro de $y$. Este es un orden parcial. Sin embargo, no es total, ya que, por ejemplo, Obama no es un antepasado de Putin, y Putin no es un antecesor de Obama.

Answer 4

Un total de la orden es un orden parcial, pero de un orden parcial no es necesariamente un orden total.

Un conjunto totalmente ordenado requiere que cada elemento del conjunto es comparable: es decir, la totalidad: es siempre el caso de que para cualquier par de elementos de a $a, b$ en un conjunto totalmente ordenado, $a \leq b$ o $b\leq a$, o ambos, por ejemplo, cuando se $a = b$. Aquí, como a menudo es el caso de $\leq$ es utilizado para representar algunos pedidos de relación.

Así, por ejemplo, $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)\}$ es trivialmente, de un orden parcial en $S = \{a, b, c, d\}$. Pero no es el caso que es un orden total, ya que no tenemos que para cada par de elementos de $S$, $(a, b)$ o $(b, a) \in R$.

Answer 5

Un ejemplo simple es un conjunto con cuatro elementos,$S = \{a, b, c, d\}$. Vamos a definir un orden parcial, de modo que $a$ es el elemento más pequeño, $d$ es el elemento más grande, y $b$ $c$ son intermedios elementos que son incomparables con otros. La relación $R \subset S \times S$ donde $(x,y) \in R \Leftrightarrow x \leq y$ está dado por $$ R = \{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,b), (b,d), (c,c), (c,d), (d,d)\}. $$ Lo voy a dejar para comprobar que esto es en realidad es un orden parcial. La cosa importante a tener en cuenta es que ni $b \leq c$ ni $c \leq b$ es verdadera, por lo $R$ no es un orden total.

EDIT: Como A. Rex astutamente señala en los comentarios, el ejemplo más sencillo sería tomar sólo $S = \{b,c\}$ con el orden parcial de la relación de $R = \{(b,b), (c,c)\}$. A continuación, $b$ $c$ son incomparables, por lo $R$ no es un orden total.