¿$\int _{\mathbb{R}^d}f\circ\phi \,\, d\mu =\int _{\mathbb{R}^d}f\circ\psi \,\, d\mu $ Implica$\phi=\psi$?

Question

Sea$\mu$ medida de probabilidad Borel, y$\phi:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$,$\psi:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ sean asignaciones mensurables definidas$\mu$ - casi en todas partes.

Mi afirmación es que si$$\int _{\mathbb{R}^d}f\circ\phi \,\, d\mu =\int _{\mathbb{R}^d}f\circ\psi \,\, d\mu $ $ para cada función Borel limitada $f$en$\mathbb{R}$, tenemos$\phi=\psi\,\,\,\text{$ \ mu$-almost everywhere}.$

¿Es verdad?

Obviamente$f\circ\phi=f\circ\psi$ para positivo$f$, pero no puedo ir más lejos.

Answer 1

Desde un almacén de Borel función es un límite uniforme de una secuencia de combinaciones lineales de los conjuntos de Borel, el problema se reduce a la siguiente:

Deje $\mu$ ser Borel Probabilidad de medir, y $\phi:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$, $\psi:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ ser medibles asignaciones definidas $\mu$-casi en todas partes. Si $\mu\left(\phi^{-1}(B)\right)=\mu\left(\psi^{-1}\left(B\right)\right) $ para cualquier subconjunto de Borel $B$, luego $\phi=\psi$ $\mu$-en casi todas partes.

Pero podemos asumir que $d=1$ $\mu$ es la medida de Lebesgue en la unidad de intervalo. Consideramos $\phi\colon x\mapsto x$ $\psi\colon x\mapsto 1-x$ por ejemplo.

La expresión clave aquí es "medida de preservación de la cartografía".