El número de soluciones a$x^2-xy+y^2=n$ es finito y un múltiplo de 6.

Question

Sea$n$ un entero positivo. Muestre que el número de soluciones enteras$(x,y)$ de la siguiente ecuación$$x^2-xy+y^2=n$ $ Es finito y múltiplo de 6.

Mi enfoque: Si$(x,y)$ es una solución entera de$x^2-xy+y^2=n$, entonces también es$\{(-x,-y),(y-x,-x),(-y,x-y),(x-y,x),(y,y-x)\}$; Pero estas soluciones se encontraron sólo por la simetría de la ecuación. Por lo tanto, no puedo garantizar que estas soluciones son todas las soluciones enteras para el problema. Me puede dar una pista. ¡Gracias!

Answer 1

Cualquier solución$(x,y)$ se puede transformar en una solución diferente$(x-y, x)$. Aplicar repetidamente esta transformación da: $$ \begin{align} (x &,y) \\ (x-y &, x)\\ (-y &, x-y) \\ (-x &, -y) \\ (y-x &, -x) \\ (y &, y-x)\\ \end {align} $$

y volver al original - por lo tanto la divisibilidad por$6$.

Claramente las soluciones son finitas; por ejemplo$(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\ge 0$ y, por lo tanto, como$x^2-xy+y^2 > xy$ y dado que el caso del mismo signo es menor que el caso de signo mixto, necesitamos$|xy|\le n$

Answer 2

Vamos a multiplicar la ecuación por $2$ para obtener $$ 2x^2-2xy+2y^2=x^2+y^2+(x-y)^2=2n. $$ Claramente $x^2$ $y^2$ están delimitadas por $2n$, con lo que el número de soluciones es finito.

Considere la posibilidad de la triple $(x,y,z=x-y)$. Si los tres números son diferentes, entonces podemos obtener 6 diferentes soluciones haciendo todas las permutaciones de las personas y, posiblemente, el ajuste de un signo a negativo para satisfacer la relación "el último es el primero menos el segundo". Además de los que podemos obtener otro 6 soluciones cambiando todos los signos. Da 12 de soluciones en este grupo. Un caso especial es cuando no todos los tres son diferentes, pero en este caso el número de soluciones únicas reduce por un factor de dos, y tenemos un grupo de sólo 6 soluciones.

Answer 3

Yo prefiero, como sugerido por @Daniel Fisher, para hacer arithmeic en el llamado anillo de enteros de Eisenstein $\mathbf Z[j]$ donde $j$ es una primitiva raíz cúbica de a $1$. Se sabe que este anillo es un UFD. Recordemos que la división en un dominio se define a las unidades (= invertible elementos), que son aquí los evidentes $6$-th raíces de $1$$\mathbf Q[j]$.

Ahora vamos a $N$ ser la norma mapa de la extensión de $\mathbf Q[j] / \mathbf Q$. Su diophantine ecuación puede ser escrita ($E_n)$ $N(x+jy) =n$ (necesariamente positivo). Porque la norma es multiplicativo, y $\mathbf Z$ $\mathbf Z[j]$ son UFD, es obviamente suficiente para resolver sólo las ecuaciones del tipo ($E_p$) $N(x+jy) =p$, donde $p$ es un primer factor de $n$ . Tenga en cuenta que la existencia de una solución de ($E_p$) significa que el primer $p$ divisiones como un producto de 2 no asociados, elementos irreductibles en $\mathbf Z[j]$, y se sabe que esto suceda iff $p\equiv 1$ mod $3$. De todos modos, el número de soluciones de $(x,y)$ ($E_n)$ es fácilmente $\equiv 0$ mod $6$ a causa de la $6$-th raíces de $1$$\mathbf Q[j]$.