El producto tensor y los elementos puros

Question

Desde mi entender, una cosa importante sobre el producto tensor es que no todos los elementos son elementos puros, que se encuentra en $M\otimes N$ no todos los elementos se encuentran en forma de $m\otimes n$ ,que son combinaciones lineales de los elementos puros.

Mi profesor mencionó que mientras se hace un problema pensando que el tensor de producto sólo contiene elementos puros es un error muy común. Pero no acabo de ver la importancia de esto, si podemos comprobar alguna propiedad $P$ para todos los elementos puros, no es para $M\otimes N$?

Por ejemplo, si $m\otimes n = 0$ por cada $m\in M, n\in N$,$M\otimes N = 0$.

Me puedes dar un ejemplo de que la comprobación de todos los elementos puros no es lo suficientemente bueno para $M\otimes N$.

Answer 1

Algunas propiedades se conservan por sumas de dinero, y aquellos que pueden comprobarse en elementos puros. Sin embargo, en ocasiones, puede que desee ver en los lineales a las cosas.

Por ejemplo, considere la posibilidad de la alternancia de álgebra de un módulo de $\bigwedge^{\bullet}M$, que es el cociente de $\bigoplus_n \bigotimes_{1}^n M$ (donde el multipication es producto tensor) por el ideal generado por $m\otimes m$, $m\in M$. Llamamos a la imagen de la pura tensor de productos de elementos puros del cociente. La relación de fuerzas (fuera de carácter 2) que $m\wedge n=-n\wedge m$, y así es fácil comprobar que el cuadrado de cualquier elemento puro es cero. Uno podría suponer erróneamente que el cuadrado de CUALQUIER elemento es cero. Sin embargo, este no es el caso. Si usted toma $x=m_1\wedge m_2 +m_3\wedge m_4$,$x\wedge x = 2m_1 \wedge m_2 \wedge m_3 \wedge m_4$, la cual generalmente es distinto de cero.

Answer 2

Los elementos puros no forman un subespacio, es decir, no es una identidad que se da a$a,b,c,d$ y$a \otimes b, c \otimes d$, hay$e,f$ con$$a\otimes b + c \otimes d = e \otimes f $ $.

Así que los elementos puros por sí mismos no forman un subespacio. Pero, al menos en el caso de objetos libres (como cuando M, N son espacios vectoriales), puede tener un subespacio generado por los elementos de base$v_1,..,v_n \in V ; w_1,..,w_m \in W$.