Integral con coseno hiperbólico cuadrado

Question

¿Alguien puede darme una pista sobre cómo integrar lo siguiente:

ps

La respuesta es$$\int_0^\infty{\frac{x^2 {\rm d}x}{\mathrm{cosh}^2(x)}}.$ (tomado del libro).

He empezado con

ps

$\frac{\pi^2}{12}$

ps

Definitivamente,$$\int_0^\infty{\frac{x^2 {\rm d}x}{\mathrm{cosh}^2x}} =$ $

y creo que ese es el camino a la respuesta. Pero no puedo imaginar cómo manejar la parte entre corchetes ...

Estaré agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

ps

ps

ps

ps

La expresión en la segunda línea proviene de la expansión de Taylor de$$\int_0^{\infty} dx \frac{x^2}{\mathrm{cosh}^2{x}} = 4 \int_0^{\infty} dx \: x^2 e^{-2 x} (1+e^{-2 x})^{-2} $ about$$ = 4 \int_0^{\infty} dx \: x^2 e^{-2 x} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) e^{-2 k x} $.