El Valor Absoluto en la Integral de$1/x$

Question

ps

¿Por qué el valor absoluto? ¿Por qué no es válido lo siguiente:

ps

Answer 1

Para$x$ positive: $\ frac {d} {dx} \ ln {x} = \ frac {1} {x}$

Para$x$ negative: $ \ frac {d} {dx} \ ln {(- x)} = \ frac {-1} {- x} = \ frac {1} {x}

Así que cuando está integrando$\frac{1}{x}$, si$x$ es positivo obtendrá$\ln{x}+C$, y si$x$ es negativo obtendrá$\ln{(-x)}+C$. Para resumir $\ln{|x|} + C$.

Y si quieres saber que$\int\frac{1}{x}dx$ no es exactamente igual a$\ln|x|+C$. Las constantes pueden ser diferentes para el$x$ positivo o negativo.

$$\ int \ frac {1} {x} dx = \begin{cases} \ln{x} + C_1 \qquad \text{for %#%#% positive} \\ \ln{(-x)} + C_2 \qquad \text{for %#%#% negative} \end {casos}$$

Answer 2

$\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx$ tiene un valor, sin embargo,$\ln(-1)$ y$\ln(-2)$ serán más complicados de evaluar ya que$\ln(x)$ solo se define en$\mathbb{R}$ para números positivos. $\frac{1}{x} = -\frac{1}{-x}$ para cada$x$, tenemos$$\ln(|-1|)-\ln(|-2|)=\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx=\int_2^1\frac{1}{x}dx = \ln(1)-\ln(2) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)<0.

Answer 3

Su rango de integración no puede ser cero, o la integral será indefinido por la mayoría de las formas estándar de la definición de las integrales. Así que tenemos que pensar de una gama de la integración, que es estrictamente positivo, o estrictamente negativo.

Lo que usted escribió es perfectamente válido para la estrictamente positivo x, así que vamos a pensar estrictamente negativo de x. Tenemos

$\int_{-a}^{-b}\frac{1}{x}d x$

donde$a>0$$b>0$, por lo que el intervalo de integración es estrictamente negativo. Hacer un cambio de variables, $y=-x$. Entonces

$\int_{a}^{b}\frac{1}{y}d y$.

(No es un negativo de la $y$ en el denominador, y $d x=-d y$, por lo que los dos negativos cancelar). Hemos convertido la integral de la $1/x$ más estrictamente negativos, a una integral de $1/y$ a través de una estrictamente positivo gama. La respuesta es $\ln b-\ln a$. Puesto que el $y$ es sólo una variable de integración, se puede reemplazar con $x$ si nos gusta, y

$\int_{-a}^{-b}\frac{1}{x}d x=\int_{a}^{b}\frac{1}{x}d x$.

Esa es la integral definida; el análogo resultado de la integral indefinida es

$\int^{-x}\frac{1}{x}d x=\int^{x}\frac{1}{x}d x$ (a dentro de una constante de integración).