¿Cuáles son algunos ejemplos de sutiles trampas lógicas?

Question

He aquí un ejemplo:

Lo que demuestra que la suposición de $A=B$ conduce a una verdadera declaración es un vacío de la verdad.
En fin el show de la $A=B$, demostrar que la diferencia de $\Delta =A-B$ es cero. El sutil cambio que $\Delta$ es no se asume como cero.

¿Cuáles son algunos otros ejemplos de sutil lógicas dificultades que los aficionados Matemático debe ser consciente de?

Aquí es un argumento específico que muestra cómo asumiendo $A=B$ conduce al absurdo.

$$ \begin{eqnarray} 2&=&1\\ 2-1&=&1-1\\ 1&=&0\\ \end{eqnarray} $$

$$ \begin{eqnarray} a+b&=&a+b\\ a+1*b&=&1*a+b\\ a+0*b&=&0*a+b\\ a&=&b \end{eqnarray} $$

Una falsedad implica nada. Suponiendo que la declaración falsa es verdadera implica que los dos indefinido de objetos de $a$ $b$ son iguales, absurdo. Sin embargo, si definimos la diferencia como $\Delta$, una verdadera declaración es forzado.

$$ \begin{eqnarray} 2-1&=&\Delta\\ \Delta &=&1\\ 2&=&\Delta +1\\ 2&=&2 \end{eqnarray} $$

Answer 1

Esto no es necesariamente sutil, pero...

Me he encontrado con muchos de los estudiantes que erróneamente a la conclusión de que si una implicación es verdadera, entonces la inversa debe ser verdadera.

• Es decir, erróneamente a la conclusión de que si $p \rightarrow q$,$q \rightarrow p$.
• El mismo error en el razonamiento viene cuando hay una cadena de derecho-direccional implicaciones y, a continuación, suponiendo que, a continuación, se muestra la equivalencia de la demanda original, y la conclusión al final de la cadena de implicaciones.
• Un poco más sutil: a menudo me encuentro con la errónea conclusión de que el si $p\rightarrow q$,$\lnot p\rightarrow \lnot q$.
• También, cuando se le preguntó a probar un bicondicional "si y sólo si" declaración como $p \iff q$, algunos se detienen después de probar sólo $p \rightarrow q$, el pensamiento que se hace.

Y, más sutilmente, cuando se comienza con una ecuación, luego de funcionamiento en cada lado de la ecuación (lo que resulta en una ecuación), los estudiantes a menudo se asume que cualquiera que sea el caso, sobre el resultado final vale también para la original. E. g. cuando se le da algo de la forma, $$\begin{eqnarray} y &=& f(x)\tag{1} \\ \text{So} \;\;y^2 &=& (f(x))^2\tag{2}\end{eqnarray}$$ and then (mistakenly) concluding solutions to $(2)$ are solutions to $(1)$. Or, e.g., given $$\begin{eqnarray}y^2 &=& x^2\tag{3} \\ \text{So} \;\;\sqrt{y^2} &=& \sqrt{x^2}\tag{4}\end{eqnarray},$$ then (mistakenly) concluding that the only solutions to $(3)$ are the solutions to $(4)$.

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Además, un escollo posible es que no se aplica correctamente las leyes de DeMorgan:

• Como se relaciona con la distribución de la negación sobre la conjunción y la distribución de la negación sobre la disyunción: equiparar Erróneamente $\lnot (p \land q)$ $ \lnot p \land \lnot q$ o $\lnot (p \lor q)$$\lnot p \lor \lnot q$.
• Como que se refiere a la contención en el complemento de la unión de conjuntos y de la contención en el complemento de la intersección de conjuntos: E. g. Cometiendo el error de equiparar $\neg(A \cup B)$ $\neg A \cup \neg B$ (y de manera similar en el caso de que el complemento de una intersección).

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También, la negación de la proposición cuantificada parece ser problemático para algunos: hacer que el error de equiparar $\lnot \forall x, P(x)$$\forall x, \lnot P(x)$, y del mismo modo, cuando la negación de un existencialmente cuantificada declaración.

Answer 2

Un problema sutil que muchas personas caen presa es confuso inducción sobre los números naturales con metainduction en los números naturales. La diferencia es que el primero es un argumento por inducción formalizado dentro de un formal "objeto" de la teoría, como ZFC, mientras que el segundo es un argumento inductivo llevado a cabo en el metatheory que utilizamos para estudiar el objeto de la teoría.

Por ejemplo, considerar la reclamación "para cada $n \in \mathbb{N}$, el número de $n!$ está definido". Aquí $n!$ se define como el producto de $\prod_{i=1}^n i$; el problema es demostrar que este producto tiene realmente un valor para cada una de las $n$.

Es tentador tratar de demostrar que diciendo "Da $n$, podemos escribir $n! = n\cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot 1$, y por lo tanto $n!$ debe ser definido". Pero ese método no tiene en realidad trabajan para probar la declaración "para todos $n \in \mathbb{N}$, $n!$ se define" en una teoría ZFC. Hay dos razones:

1. La prueba anterior, cuando se escribe de manera explícita, sin puntos suspensivos, se hace más y más como $n$ se hace más grande y más grande, porque se necesita más y más espacio para escribir los números convenientemente omite por los puntos suspensivos. Así que el argumento anterior realmente proporciona una secuencia de pruebas, una para cada una de las $n$ podemos anotar, que $n!$ está definido.

2. Si un enunciado es demostrable en ZFC, es verdadera en todos los modelos de ZFC, y hay modelos de ZFC en el que no son estándar números naturales. Para un no estándar $n$ en algunos no estándar modelo, no podemos escribir el "finito" producto $n!$, porque en realidad, hay una infinidad de números de menos de $n$ desde la perspectiva de la modelo. (Como números, aunque $n!$ está definido, no es dado a ningún término en el lenguaje de la aritmética.)

La forma en la que realmente demostrar "$n!$ se define" en ZFC es por inducción dentro de ZFC, que es capaz de formalizar el siguiente argumento. En primer lugar, $0! = 1$ está definido. Ahora suponga $k!$ está definido; a continuación, $(k+1)! = (k+1)\cdot k!$ se define así. Por lo tanto, por inducción, $n!$ está definido para todos los $n$. Esta prueba no depende de nuestra capacidad para "escribir" $n$, simplemente utiliza el principio de inducción y el hecho, se puede demostrar en ZFC basada en la definición que me dio, que $(k+1)! = (k+1)\cdot k!$.

Debido a que la mayoría de matemáticas se realiza en lenguaje natural, donde la distinción entre el objeto de la teoría y la metatheory no es clara, la distinción anterior puede ser fácil pasar por alto. Pero cuando empezamos realmente a la formalización de las cosas en la educación formal de las teorías, la distinción es crucial.

Hay muchos ejemplos de teorías formales $T$ y declaraciones de $\phi(n)$, teniendo un número natural como argumento, tal que para cada $n$, $T$ prueba $\phi(n)$, pero al mismo tiempo $T$ no demuestran $(\forall n)\phi(n)$. La manera en que tales ejemplos son generalmente obtenidos por mostrar "para cada $n$, $T$ prueba $\phi(n)$" por metainduction (inducción en el metatheory) y, a continuación, utilizar alguna otra técnica para mostrar "$T$ no demuestran $(\forall n)\phi(n)$."

Answer 3

Creo que este es probablemente el más sutil punto todavía tengo que encontrar en la teoría de conjuntos.

Supongamos que el universo de los conjuntos satisface $\sf ZFC$.

De hecho yo: Para cada $T_0$, un subconjunto finito de $\sf ZFC$, se puede probar en la $\sf ZFC$ que $T_0$ tiene un modelo.

Dato II: El teorema de compacidad es demostrable a partir de $\sf ZFC$, por lo que si una teoría de la $T$ es de tal manera que cada fragmento finito tiene un modelo, entonces $T$ tiene un modelo.

Hecho III: Si $\sf ZFC$ es consistente, entonces $\sf ZFC$ no puede probar su propia consistencia. En particular, si suponemos que el universo de los conjuntos satisface $\sf ZFC$, entonces es imposible demostrar que no es un conjunto que es un modelo de $\sf ZFC$.

A primera vista parece que los dos primeros hechos contradicen la tercera! Pero la verdad es que el primer hecho se demuestra en la meta-teoría. Y no podemos aplicar la compacidad de los argumentos en la meta-teoría, y tener los resultados en la teoría en sí misma!

Esta trampa es $\large\sf\text{confusing between meta-theory and theory}$. Es muy fácil caer cuando al dar tus primeros pasos en la teoría de conjuntos y la consistencia de los resultados.

Answer 4

Suponiendo que sólo porque escribió algunas propiedades de sonido razonable, debe haber algún objeto que posea esas propiedades.

Answer 5

No sé exactamente cómo cuantificarlo, pero es la diferencia entre las dos pruebas siguientes que$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x\right)$ no existe.

1. Supongamos que el límite existe y es igual a$L$, entonces

ps

lo cual es una contradicción ya que este límite más a la derecha no existe.

y

1. Supongamos que el límite existe y es igual a$$L=\lim_{x\to 0}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x\right)=\lim_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)+\lim_{x\to 0}x=\lim_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$, entonces

ps

que es una contradicción.