¿Cuándo$r$ divide$\binom{n}{r}$?

Question

Suponga que$n>r$ y ambos$n$ y$r$ son enteros positivos.

¿Cuándo podemos tener que$\dbinom{n}{r}$ es divisible por$r$?

Estoy buscando todos los pares$(n, r)$ tales que la condición anterior es satisfecha.

Answer 1

Creo que esta pregunta es bastante difícil. La respuesta para el caso de que $r$ es el primer que se puede deducir de Lucas teorema, el cual, en particular, que ${n\choose r}$ es divisibly por un primer $p$ si y sólo si uno de los dígitos de $r$ cuando se escriben en la base de $p$ es mayor que la correspondiente base $p$ dígitos de $n$.

Desde $r=10_r$ escrito en base a $r$, obtenemos que

Si $r$ es primo, a continuación, ${n\choose r}$ es divisible por $r$ si y sólo si el resto de $n$ modulo $r^2$ es menor que $r$.