En muchas teorías de la CMT, se asume la naturaleza de las cuasipartículas (sin dar justificaciones adecuadas). Por ejemplo, asumimos que la naturaleza de las cuasipartículas es fermiónica en el caso de un sistema de fermiones interactivos con el que comenzamos e imponemos relaciones de anticomutación en consecuencia. Al igual que en la teoría BCS, al utilizar la transformación Bogoliubov-Valatin para diagonalizar el hamiltoniano, asumimos que los nuevos operadores también son de naturaleza fermiónica. Por favor, explique más sobre este paso y cómo se justifica.
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Alexander
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Todo se remonta a la Teoría de Landau del líquido de Fermi cuando Landau supuso que los estados excitados de un líquido de Fermi (un líquido de Fermi es un gas de Fermi con una interacción adicional de dos cuerpos, o una interacción electrón-fonón, ...) obedece a la estadística de Fermi-Dirac. Landau acuñó el término cuasipartículas para el vestido electrones: un electrón convencional rodeado por una nube de cargas de cribado que interactúa, o partícula compuesta de electrones y fonones (llamados plasmones). Cualquier libro sobre metales habla de ello. Los más famosos son
- A.A. Abrikosov Fundamentos de la teoría de los metales North-Holland (1988)
- A. A. Abrikosov, L. P. Gor'kov, & I. E. Dzyaloshinsky Métodos de la teoría de los fieles cuánticos en la física estadística Prentice Hall (1963).
- Philippe Nozières y David Pines Teoría de los líquidos cuánticos Westview Press (1999).
para los libros de primera generación que hablan de esos temas. Yo evitaría en la medida de lo posible los libros modernos con respecto a tu pregunta, ya que suelen ser muy chapuceros al respecto. [NB: Por una buena razón: los desarrollos modernos de la materia condensada muestran a veces cuasi-partículas que no son ni bosones ni fermiones, pero esa es otra historia].
Una introducción realmente pedagógica a la cuasipartícula (lo que señala p artículo) el tema está en
- R.D. Mattuck Una guía para los diagramas de Feynman en el problema de muchos cuerpos Dover (1992)
especialmente los capítulos 2, 4 y 8.
Buena literatura para la superconductividad, especialmente en lo que se refiere a la transformación de Bogoliubov, son, además de la literatura original (bastante difícil de seguir por lo que no te doy las referencias)
- P.G. de Gennes Superconductividad de metales y aleaciones , Westview (1966).
- A.I. Fetter y J.D. Walecka, Teoría cuántica de los sistemas de muchas partículas Dover Publications (2003, primera edición 1971)
Esos fueron los detalles que Trimok olvidó en su excelente respuesta .
Michael Hardy
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4554
Aquí estoy siguiendo esto referencia
Consideramos aquí los pares formados por 2 socios fermiónicos. Asociamos un valor diferente de un parámetro $\sigma$ para cada uno de los socios.
Los operadores fermiónicos de creación/anihilación verifican :
$[c_{k,\sigma},c_{k',\sigma'}]_+ = 0$ y $[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$
La transformación Bogoliubov-Valatin es :
$b_{k,\sigma} = (u_k ~c_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c^+_{-k,-\sigma})$ , $b^+_{k,\sigma} = (u_k ~c^+_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c_{-k,-\sigma})$
Para simplificar, aquí $u_k$ y $v_k$ son supuestamente reales.
Por lo tanto, tenemos :
$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - u_kv_{k'}\sigma'[c_{k,\sigma},c^+_{-k',-\sigma'}]_+ - v_{k}u_{k'}\sigma[c^+_{-k,-\sigma},c_{k',\sigma'}]_+$
$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - (u_kv_{k'}\sigma'+ v_{k}u_{k'}\sigma)\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$
$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{k'} - v_{k}u_{k'})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$
$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{-k} - u_{-k}v_{k})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')~~~$ $(1)$
La misma relación es válida para $[b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+$
También lo hemos hecho:
$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = u_ku_{k'}[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ +\sigma \sigma' v_{k}v_{k'}[c^+_{-k,-\sigma},c_{-k',-\sigma'}]_+$
$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_ku_{k'} + \sigma \sigma' v_{k}v_{k'}) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$
$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_k^2 + v_k^2) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')~~~~~~~~~$ $(2)$
Ahora, suponiendo : $$u_k = u_{-k}, v_k = v_{-k}, (u_k^2 + v_k^2) = 1~~~~~~(3)$$ : Esta es una transformación canónica.
De la ecuación $(1)$ , Obtenemos :
$$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = [b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+=0$$
De la ecuación $(2)$ , obtenemos :
$$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$$
Esto demuestra que los operadores $b_{k,\sigma}, b^+_{k,\sigma}$ son operadores fermiónicos que verifican las relaciones de anticomutación.
Ver referencia - Capítulo 8-4, página 46
[EDITAR] Ahora podemos demostrar que es posible encontrar $u_k and v_k$ , tales que obedecen a la ecuación (3), es decir, corresponde a una transformación canónica.
Aquí sólo damos la lógica seguida por el referencia y citando la ecuación precisa y la página.
1) Escribe un hamiltoniano con los nuevos operadores $b_k, b^+_k$ :
$$Formula~ (156)~ page~ 47$$
2) Introducción del número de operador $n_k$ La expresión del hamiltoniano con estos operadores, y la búsqueda de un valor propio $E$ :
$$Formula~ (157 - 158)~ page~ 48$$
3) Minimizar E relativamente a $u_k$
$$Formula~ (159)~ page~ 48$$
4) Expresión de $u_k,v_k$ función de las energías $\epsilon_k$ , potencial químico $\mu$ y una cantidad $\Delta$ (esta última cantidad depende de $u_k,v_k,n_k$ )
$$Formula~ (160, 161)~ page~ 48$$
5) En este punto, la exigencia de $u_k,v_k$ que representa una transformación canónica, dar una ecuación para la cantidad $\Delta$
$$Formula~ (162)~ page~ 48$$
6) Visualización de los parámetros $u_k,v_k$ .
$$Figure ~ (36)~ page~ 49$$
7) Aproximación de campo medio : El último término del hamiltoniano se modifica y el hamiltoniano de campo medio aparece diagonal:
$$Formula~ (164)~ page~ 49$$
8) Conclusión de la referencia (comienzo de la página 50)
"El hecho de que la transformación Bogoliubov-Valatin diagonaliza el BCS-Hamiltoniano al menos en la aproximación de campo medio justifica a posteriori nuestra suposición de que el estado puede encontrarse como un estado propio del ˆb- de los operadores de número de ocupación. En la literatura las relaciones clave (160) se derivan a menudo como diagonalizando el Hamiltoniano BCS de campo medio en lugar de minimizar la expresión de energía (158). De hecho, ambas relaciones son igualmente importantes y sólo proporcionan juntas la solución de ese hamiltoniano. Claramente, la teoría BCS basada en esa solución es una teoría de campo medio".
