¿Existe una secuencia no periódica de 1 y 0 tal que su serie de potencias pueda continuarse analíticamente fuera del círculo unitario

Question

Esto es algo que encontré durante mi propia investigación, fui alrededor y pregunté a bastantes personas (la mayoría de ellos enseñando matemáticas en la universidad) y ninguno consiguió darme una respuesta definitiva. Aviso: publico esto desde el teléfono, así que no me importa que escriba las fórmulas usando sólo el teclado estándar del teléfono con el que trabajo actualmente, intentaré hacer lo mejor posible para que sea legible, + va a ser un post un poco más largo.

La pregunta es la siguiente:

¿Existe una función f: $\mathbb{N} \to \{0, 1\}$ que satisfaga lo siguiente:

• no hay ningún par ordenado $(n, t)$ tal que para cada número natural $a$ ,

  $$a>n \implies f(a)=f(a+t)$$

  también conocida como la cola de $f$ no es periódica.

• Dejemos que $g(z)=\sum_{k=1}^{k=\infty} f(k) z^k$ , donde $|z|<1$ también conocido como $g$ se define dentro del círculo unitario del plano complejo excluyendo el límite del círculo. $g(z)$ se puede continuar analíticamente hasta fuera del círculo unitario.

Lo que sé hasta ahora es que hay ejemplos de funciones que satisfacen la primera propiedad y no satisfacen la segunda; las que conozco son $f(x)=1$ si $x=2^k, k$ natural, y $0$ en caso contrario, y uno más con $k!$ en lugar de $2^k$ .

Por supuesto, es fácil demostrar que si la función no satisface la primera propiedad, debe satisfacer la otra.

Esta es una versión simplificada del problema en la que en lugar de $\{0, 1\}$ el codominio de $f$ es $\{0, 1, ... n\}$ para algunos fijos $n$ .

Este problema más general ha surgido del intento de identificar ( el mayor número posible ) los miembros del sistema numérico p-ádico, donde $p = n$ con valores complejos tales que el conjunto de números que pueden ser identificados de esta manera junto con las operaciones p-ádicas sobre ellos es isomorfo con el subcampo de $\mathbb{C}$ que está hecho de elementos con los que se identifican.

Así que eso fue un poco de antecedentes. El objetivo principal era sugerir un posible candidato para $f$ en una versión más general del problema. Sea $n=7$ y $x$ sea una de las soluciones de la ecuación $x^2=2$ en $\mathbb{Q}_7$ obviamente hay 2 soluciones opuestas entre sí ( $x_1+x_2 = 0$ ), $f(k)$ es entonces el $k$ -en la representación de x en $\mathbb{Q}_7$ .

Lo que creo es que ambas soluciones nos generan una función que satisfaría ambas propiedades y que los valores de las continuaciones analíticas de las respectivas $g_1(z)$ y $g_2(z)$ en $z=7$ será igual a $\sqrt{2}$ y $- \sqrt{2}$ respectivamente.

Ty por leer hasta el final y gracias por cualquier ayuda en el tema, estoy deseando leer las respuestas

Answer 1

Usted está interesado en funciones lacunares . Permítanos etiquetar su función, $$ g(z) = \sum_{k=1}^\infty f(k) z^k \text{.} $$

Es un viejo resultado que si los coeficientes de la serie $g$ provienen de un conjunto finito, y la secuencia de coeficientes en $g$ no son eventualmente periódicas, entonces la serie no puede continuarse fuera del disco unitario. De "Analytic Function Theory, vol. 2" de Einar Hille, p. 87

Otro caso es aquel en el que los coeficientes sólo tienen un número finito de valores distintos. Si estos valores no forman finalmente una secuencia periódica, la serie es no continuable [fuera del disco unitario].

Bell et al. (Bell, Jason P., Nils Bruin y Michael Coons, "Transcendence of Generating Functions Whose Coefficients are Multiplicative", https://arxiv.org/pdf/1003.2221.pdf ) dan un comienzo a la literatura con su Teorema 1.2:

Teorema 1.2 (Carlson [10]) . Una serie $F(z) = \sum_{n \geq 1} f(n) z^n \in \mathbb{Z}[[z]]$ que converge dentro del disco unitario es racional o admite el círculo unitario como límite natural.

Por supuesto, si es racional, al final es periódico.