El problema de la braquicardia con la restricción del suelo

Question

Un objeto comienza a deslizarse (sin fricción, bajo la influencia de la gravedad) desde $(0, h)$ a lo largo de alguna curva $ \gamma (t) = (x(t), \space y(t))$ y al igual que en el habitual El problema de la braquicardia debe llegar al punto $(d, 0)$ en el menor tiempo posible. Pero añadimos la restricción de que la curva no puede atravesar el suelo $(y=0)$ es decir $y(t) \geq 0$ .

¿Cuál (si existe) es la curva de solución para este problema?

Answer 1

La respuesta depende de la distancia $d$ .

Primero, recuerden que la braquicronela es un cicloide, la curva trazada por un punto en un círculo que rueda a lo largo de la directrix (línea discontinua, figuras abajo), que está a la altura de la energía cinética cero de la partícula. Por lo tanto, si la partícula comienza en reposo (como lo hace en este problema), la directriz está a la altura de $A$ por encima del "suelo", lo que denota $h$ . El radio del círculo depende de la ubicación de los puntos inicial y final.

Si $d$ es pequeño ( $d < \pi h/2$ ... la mitad de la circunferencia de un círculo que permanece sobre el "suelo"), entonces un solo cicloide (brachistochrone) puede ir de $A$ a $B$ sin necesidad de atravesar el suelo y por lo tanto (como demostraron los hermanos Bernoulli) es la solución óptima.

Si $d$ es tan grande que un cicloide tendría que pasar "debajo del suelo" (como el poser postula, es decir, $d> \pi h/2$ ), la solución es tomar el cicloide que es tangente al punto más lejano posible en el suelo (el punto en $( \pi h/2,0)$ ), y luego seguir el piso para $(d,0)$ .

Para ver esto: Tenga en cuenta que el brachistochrone es, por definición, la ruta más rápida para $( \pi h/2,0)$ . Por las propiedades de una braquicorona, no acelera la ruta hacia $( \pi h/2, 0)$ para llegar al piso "antes". Claramente, también, el suelo es la ruta más rápida desde $( \pi h/2,0)$ a $(d,0)$ porque la partícula tiene la velocidad más rápida posible (dadas las restricciones) y también la más rápida horizontal velocidad. Observe que la curva óptima es continua en todo momento porque el cicloide tiene un derivado de desvanecimiento en el punto de transición... el mismo que el "suelo" horizontal.

Para cualquier punto $B$ más allá de $ \pi h/2$ el sin restricciones brachistochrone tendría que ir "debajo" del "suelo", y por lo tanto es inaceptable.

Referencia estrechamente relacionada .

Answer 2

Arthur escribió en un comentario debajo de la pregunta:

Mi conjetura inmediata sería seguir el cicloide que es vertical en $A$ y tangente al suelo, entonces cuando llegues al suelo deslízate a lo largo del mismo para $B$ .

Arturo tiene toda la razón si $d \geq \pi \frac {h}{2}$ . (Si $d \leq \pi \frac {h}{2}$ la solución cicloide entre $A$ y $B$ para los que no tienen restricciones El problema de la braquicardia no se sumergirá por debajo del suelo, y por lo tanto es la solución óptima).

Prueba esbozada:

1. Basta con considerar las curvas continuas $ \gamma $ que puede ser parametrizado por el $x$ - coordinados. (Moviéndose en el negativo $x$ -de dirección (o verticalmente por un período finito) no puede ser óptima.)

2. Podemos dividir el problema de optimización en problemas más pequeños. Digamos, dada una línea vertical $ \ell $ con $x$ -coordinada $ \in ]0,d[$ y dejar que $C$ ser un punto arbitrario en $ \ell $ . Entonces una curva óptima $ \gamma_ {AB}$ de $A$ a $B$ se puede encontrar como una concatenación de una curva óptima $ \gamma_ {AC}$ de $A$ a $C$ y una curva óptima $ \gamma_ {CB}$ de $C$ a $B$ si al final optimizamos la posición de $C$ a lo largo de la línea vertical $ \ell $ El tiempo es funcional. $t[ \gamma_ {AC}]+t[ \gamma_ {CB}]$ cf. Fig. 1.

    y
    ^
    |          |
   A|__        |
    |  \_______|__
    |         C|  \_____
   _|__________|________\__B______> x
    |          |

   $ \uparrow $ Fig.1.

   (Técnicamente, para la segunda pierna $ \gamma_ {CB}$ estamos aquí generalizando ligeramente el clásico El problema de la braquicardia (donde tradicionalmente se supone que la velocidad inicial es cero) al caso de que la velocidad inicial pudiera ser distinta de cero).

3. Deje que $C$ ser el punto donde una curva óptima $ \gamma_ {AB}$ primero toca el suelo. (Podría ser el punto $B$ ). Entonces la curva óptima $ \gamma_ {AC}$ es sólo una solución cicloide para el problema no restringido entre $A$ y $C$ .

   Una parametrización de la cicloide lee $$ \gamma_ {AC}( \theta )~=~ \begin {pmatrix}x( \theta ) \cr y( \theta ) \end {pmatrix}~=~ \begin {pmatrix} \frac {k^2}{2}( \theta - \sin\theta ) \cr h- k^2 \sin ^2 \frac { \theta }{2} \end {pmatrix}, \qquad k~:=~ \frac { \sqrt {h}}{ \sin\frac { \theta_C }{2}}, \qquad \theta ~ \in ~[0, \theta_ {C}], \tag {0}$$ donde $ \theta_ {C} \in [0, \pi ]$ es un parámetro libre que se determinará más adelante. Es sencillo calcular que el tiempo para el primer tramo es $$t[ \gamma_ {AC}]~=~ \int_ { \gamma_ {AC}}\! \frac { \mathrm {d}s}{v} ~=~ \int_0 ^{ \theta_C }\! \mathrm {d} \theta \sqrt { \frac {x^{ \prime }( \theta )^2+y^{ \prime }( \theta )^2 }{2g(h-y( \theta ))}} ~ \stackrel {(0)}{=}~ \ldots ~=~ \frac {k \theta_C }{ \sqrt {2g}}. \tag {1} $$

4. Si un punto óptimo intermedio $C$ toca el suelo, entonces la curva óptima $ \gamma_ {CB}$ debe ser una línea recta horizontal a lo largo del suelo (porque al mantenerse lo más bajo posible se obtienen las mayores velocidades).

   Asume para el resto de la respuesta que $d \geq \pi \frac {h}{2}$ . El tiempo para la segunda etapa es
   $$t[ \gamma_ {CB}]~=~ \frac {d- \frac {k^2}{2}( \theta_C - \sin\theta_C )}{ \sqrt {2gh}}. \tag {2}$$

5. Si una pieza continua $C^1$ -curva $ \gamma $ (con derivados de izquierda y derecha ) tiene un pliegue en su pendiente, no puede ser óptimo.

   Este argumento por sí solo muestra que la curva óptima tiene $ \theta_C = \pi $ . También se puede comprobar explícitamente a partir de las ecuaciones. (1) y (2) que el tiempo combinado $t[ \gamma_ {AC}]+t[ \gamma_ {CB}]$ se minimiza para $ \theta_C = \pi $ .

Answer 3

La conjetura de Arthur parece muy razonable.

En primer lugar, observamos que por conservación de la energía, una vez que la bola golpea el suelo su velocidad es fija. Llamamos a este valor $v$ en un sistema de medición adecuadamente elegido, la ecuación $$h = \frac {1}{2} v^2 $$ que se mantiene, de la cual $$ v = \sqrt {2h}$$ A partir del punto de contacto, la bola rodará a velocidad constante. Tomemos ahora el cicloide mencionado por Arturo, de tal manera que es tangente al suelo. Se genera por una circunferencia de radio $ \frac {h}{2}$ . Además, golpea el suelo a una distancia horizontal de $ \pi r = \pi \frac {h}{2} $ desde el punto de partida (es decir, la mitad de la circunferencia). Esto significa que una distancia de $d - \pi \frac {h}{2}$ quedan por recorrer, lo que ocurre en un tiempo $t_2$ , $$t_2 = \frac {d - \pi r}{v}= \frac {d - \pi \frac {h}{2}}{v} = \frac {d - \pi \frac {h}{2}}{ \sqrt {2h}}$$ El tiempo $t_1$ para bajar el cicloide hasta el suelo es igual a $$ t_1 = \pi \sqrt { \frac {h}{2}}$$ como se conoce del problema de la braquiterapia sin restricciones.

Ahora podemos comprobar la estacionalidad de la solución del candidato de Arturo, variando $r$ el radio del generador de círculos del cicloide. Para una variación infinitesimal del radio $dr$ el diferencial de "tiempo para rodar hacia abajo" es igual a $$ \mathrm {d}t_1 = \frac { \pi }{ \sqrt {2 h}} \mathrm {d}r$$ mientras que la variación de $t_2$ se calcula como $$ \frac {d - \pi ( \frac {h}{2} + \delta r)}{ \sqrt {2h}} - \frac {d - \pi \frac {h}{2}}{ \sqrt {2h}} $$ así que se concluye $$ \mathrm {d}t_2 = - \frac { \pi }{ \sqrt {2h}} \mathrm {d}r $$ de la misma magnitud que $ \mathrm {d}t_1$ lo que demuestra que la solución candidata es, en efecto, estacionaria.