No existe $f(f(x))=x^2-2016$

Question

Demostrar que no existe ninguna función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $$f(f(x))=x^2-2016$$ para todo número real $x$ .

Mi intento :

Sustituir $x=f(x)$ en $f(f(x))=x^2-2016$ ,

tenemos $f(f(f(x)))=f(x)^2-2016$

así que $f(x^2-2016) = f(x)^2-2016$ ---[1]

$f$ está en $(-2016, \infty)$

Desde $x^2 \geq 0$ así que $x^2-2016 \geq -2016$

$f(f(x))\geq -2016$

sustituto $x=-x$ en[1], $f(x)^2-2016=f(-x)^2-2016$

así que $f(x)^2 =f(-x)^2$

Por favor, sugiera cómo proceder.

Answer 1

Por el responder vinculado en los comentarios, no existe tal función. Utilizando la notación en la respuesta de MSE enlazada, tendría $\Delta(f) = 0 - 4(1)(-2016) > 1$ lo que descarta la existencia de una función que satisfaga el criterio deseado (cf. Teorema 6 en el siguiente pdf ).