Mostrando un polinomio es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$

Question

El Problema

Deje $a_0=1$ y definir de forma recursiva $a_n$ a ser el más pequeño de los números primos estrictamente mayor que$a_0+...+a_{n-1}$ a continuación,$(a_n)_{n\geq 0 }$, se deduce que $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n$$ is irreducible in $\mathbb{Q}[x]$

Otra manera de definir el $a_n=\min\{p|p>a_0+...+a_{n-1} \text{ and } p \text{ is prime}\}$

Aquí está el primer par de números en la secuencia $(a_n)_{n\geq 0}$: $(1,2,5,11,23,43,89,...)$

Aquí está el primer par de polinomios:

$$1$$

$$x+2$$

$$x^2+2x+5$$

$$x^3+2x^2+5x+11$$

$$x^4+2x^3+5x^2+11x+23$$

$$x^5+2x^4+5x^3+11x^2+23x+43$$

$$x^6+2x^5+5x^4+11x^3+23x^2+43x+89$$

Mis Pensamientos

Está claro que si podemos encontrar algunos de los mejores $p$ donde $q_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n$ es irreducible en a $\mathbb{Z_p}[x]$ $q_n(x)$ es irreducible en a $\mathbb{Q}[x]$. Con lo dicho creo que tengo que probar:

$q_n(x)=a_0x^n+...+a_n$ es irreducible en a $Z_{a_{n-1}}[x]$

pero estoy un poco atascado aquí. Alguna Idea?

Answer 1

Gauss lema establece que si un polinomio es irreducible sobre los números enteros, también es irreducible sobre racionales. Vamos a demostrar que el polinomio $$P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n−1}+...+a_n$$ tal que $$a_n > a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_0 \tag{1}$$ $a_k \in \mathbb{N}^{*},\forall k$ $a_n$- prime es irreducible sobre los números enteros.

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La proposición 1 Si $\alpha \in \mathbb{C}$ es una raíz de $P_n(x)$, es decir,$P_n(\alpha)=0$,$|\alpha|>1$.

Supongamos $|\alpha| \leq 1$ $$a_0\alpha^n+a_1\alpha^{n−1}+...+a_n=0 \Rightarrow |a_n|=|a_0\alpha^n+a_1\alpha^{n−1}+...+a_{n-1}\alpha| \Rightarrow \\ a_n\leq a_0|\alpha^n|+a_1|\alpha^{n−1}|+...+a_{n-1}|\alpha| \leq a_0+a_1+...+a_{n-1}$$ lo que contradice $(1)$

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Proposición 2 $P_n(x)$ es irreducible sobre los números enteros.

Supongamos que es reducible, es decir, $P_n(x)=G(x)\cdot F(x)$ donde $G, F$ son no-constante de polinomios con coeficientes enteros. A continuación, $P_n(0)=G(0)\cdot F(0)=a_n$ que es primo. Esto significa que los valores absolutos de los últimos coeficiente de $G$ es 1 y el de la última coeficiente de $F$ $a_n$ (o vice-versa, pero WLOG, vamos a asumir que es así). Vamos notas $$G(x)=b_kx^k+...+b_0, b_i\in \mathbb{Z}, b_k \ne 0, |b_0|=1$$

A partir de las fórmulas de Vieta tenemos que el valor absoluto del producto de $G(x)$'s de las raíces ($G(\gamma_i)=0, \gamma_i \in \mathbb{C}$) es $$\left|\prod_{i} \gamma_i \right|= \left|\frac{b_0}{b_k}\right|\leq 1$$

Pero todos y cada uno raíz de $G(x)$ es también una raíz para $P_n(x)$ y, de acuerdo con la Proposición 1, debemos tener $$\left|\prod_{i} \gamma_i \right|=\prod_{i} \left|\gamma_i \right|>1$$ Así que tenemos una contradicción.

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Aquí se recomienda una fuente de inspiración.