Donde es la onda del"información" escondido en esta oda

Question

Considere la siguiente ODA $\mathbb{R}^+$ $x(t)\in\mathbb{R}^n$ grandes $n$:

\begin{equation} \ddot x + K x = 0, \quad K=\begin{bmatrix} 2 & -1 &\dots \\ -1 & 2 &-1&\dots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \dots & -1 & 2 & -1 \\ 0 &\dots &\dots & -1 & 1\end{bmatrix} \end{equation}

Físicamente, $x$ puede ser entendida como el desplazamiento de $n$ nodos de una masa-resorte de la cadena, fijado en un extremo (tenga en cuenta que $K_{n,n}=1$, que no es un error tipográfico). Esto es lo que sucede para una condición inicial $x(0)=[0,\dots,0]$$\dot x(0)=[0,\dots,0,1]$, es decir, para una velocidad inicial de la masa al final.

Parece que hay algo en el aspecto de una onda que se propaga (a la izquierda), con una velocidad constante.

La pregunta de Cómo estimar esta velocidad aparente como una función de la $n$?

Numéricamente, es fácil de estimar, por ejemplo, mediante el trazado de $(i,t,x_i(t))$ donde $i\in \{ 1,\dots,n\}$, de aquí para $n=100$:

Podemos ver claramente una línea recta en el gráfico $(i,t)$. A la izquierda de esta línea, $x$ es (casi) cero: no hay desplazamiento (información no ha llegado a estos puntos).

Tenga en cuenta que los autovalores de a $K$ $$\omega_k=2\Big(1-\cos\Big(\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}\Big)\Big)$$ y sus vectores propios están dadas por $$\phi_k^{(i)}=\sin\Big(\dfrac{i(2k-1)\pi}{2n+1}\Big)$$ donde $i$ es el índice del componente y $k$ el índice del vector propio.

La educación a distancia puede ser resuelto en el primer formulario de pedido, posando $y^\top = [x,\ \dot x]$:

\begin{equation} \dot y = Ay, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -K & 0 \end{bmatrix} \end{equation} así que las soluciones se $y(t)=\exp(tA)y(0)$. La cuestión se reduce a "extraer" la velocidad aparente de $\exp(At)e_{2n}$ ($e_{2n}$ es el último vector de la base canónica), pero no veo cómo. La excavación en esa dirección, podemos demostrar que con $$q_i(t)=\dfrac{1}{\omega_i} \phi_i^{(n)} \sin(\omega_i t)$$ and $q^\top =[q_1,\dots,q_n]$, la solución para la velocidad inicial $y=e_{2n}$ es $$ x(t)=\phi^{-1} q(t)$$ por lo que la información en el interior de $\phi^{-1}q$.

Answer 1

En el $i$th fila del sistema diferencial, el plazo $(x_{i+1} - 2 x_{i} + x_{i-1})/\Delta\xi^2$ es una orden-2 central de diferencia finita de aproximación del espacio derivado $\partial^2 x/\partial \xi^2$ donde $\xi$ es un espacio de coordenadas tal que $x_i(t) \simeq x(i\, \Delta \xi ,t)$. Por lo tanto, el diferencial de sistema de $\ddot{x_i} + K x_i = 0$ puede ser visto como una diferencia finita espacial de discretización de la ecuación de onda $$ \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 x}{\parcial \xi^2} = 0 \, , $$ que la velocidad del sonido en el $\xi$-$t$ coordenadas es $c = \Delta \xi$ /s.

Ahora, supongamos que $x = \exp\left({\text{i}(\omega t - k \xi)}\right)$ es una onda monocromática. La inyección de este Ansatz en la ecuación de onda, se obtiene la expresión de la física de la onda de número de $k = \omega/c$, es decir, la relación de dispersión. La inyección de la Ansatz $x = \exp\left({\text{i}(\omega t - \kappa \xi)}\right)$ en la correspondiente ecuación discreta $$ \ddot{x}_i - c^2 \frac{x_{i+1} - 2 x_{i} + x_{i-1}}{{\Delta\xi}^2} = 0 \, , $$ obtenemos la relación $$ \kappa \Delta\xi = \arccos\left( 1 - \frac{(k\Delta\xi)^2}{2} \right) $$ satisfecho por el número de número de onda $\kappa$. Una expansión de la serie como $k\Delta\xi \to 0$ da la relación de dispersión numérica $$ \kappa \simeq k + \frac{k^3 \Delta\xi^2}{24} + O\left(k^4 \Delta\xi^3\right) . $$

Answer 2

Podemos descomponer $x(t)$ en una combinación lineal de los vectores propios, $x(t)=\sum_{k=1}^n\alpha_k(t)\phi_k$.

Cada coeficiente satisface $\ddot\alpha_k(t)+\omega_k\alpha_k(t)=0$, lo $\alpha_k(t)=a_k\exp(j\sqrt{\omega_k}t)+b_k\exp(-j\sqrt{\omega_k}t)$ para algunos compleja $a_k,b_k$. Estoy usando $j=\sqrt{-1}$ porque ya estamos usando $i$ para el índice espacial.

Del mismo modo, cada vector propio puede ser escrito como $\phi_k^{(i)}=\frac1j\bigl(\exp(j\kappa_ki)-j\exp(-j\kappa_ki)\bigr)$ donde $\kappa_k=\pi(2k-1)/(2n+1)$.

La multiplicación de ellos juntos, cada uno eigenmode $\alpha_k(t)\phi_k^{(i)}$ puede ser expresada como una suma de términos de la forma $c\exp\bigl(j(\pm\sqrt{\omega_k}t\pm\kappa_ki)\bigr)$, o lo que es equivalente, $c\exp\bigl(j\kappa_k\bigl(\pm i\pm(\sqrt{\omega_k}/\kappa_k)t\bigr)\bigr)$. Así, cada eigenmode es una superposición de ondas viajeras de número de onda $\kappa_k$ y la velocidad de $\pm\sqrt{\omega_k}/\kappa_k$.

En particular, para$k\ll n$,$\sqrt{\omega_k}/\kappa_k\approx1$, consistente con el análisis de la ecuación de onda. Sin embargo, hay una cierta dispersión a mayor número de onda, lo que explica el final oscilaciones de alta frecuencia.