¿Límites - ' s siempre es posible escapar de una forma indeterminada?

Question

En general, cuando están resolviendo límites y llegar a una forma indeterminada ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0^0$, etc.), utilizamos alguna técnica para deshacerse de la forma indeterminada (factorización, conjugado, sustituciones de variables, etc.) y luego terminar de resolver el límite.

¿Mi pregunta es, siempre es posible deshacerse de formas indeterminadas? Si no es así, ¿qué conclusión debo tomar sobre el límite que estoy tratando de resolver?

Answer 1

Si estás estudiando un límite de la forma $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)},$$ donde $f$ $g$ son cero suave funciones con $f(a)=g(a)=0$, entonces usted puede deshacerse de la forma indeterminada $\frac00$ si $f$ $g$ son analíticas. En este caso, usted tiene que $f$ $g$ puede ser escrito como sus Taylor de la serie en$a$, por lo que, ya que son distintos de cero de las funciones debe ser un derivado que es diferente de cero, decir $f^{(n)}(a)$ es el primer no-cero de la derivada a $f$ $g^{(m)}(a)$ es el primer distinto de cero derivados de $g$. Por lo tanto, $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{\frac1{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n}{\frac1{m!}g^{(m)}(a)(x-a)^m}$$ y este límite puede ser calculada. La buena noticia es que la mayoría de las funciones elementales de cálculo analítico (polynomias, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\log x$) así que la mayoría de las veces indeterminado formas puede ser resuelto. Sin embargo, hay $C^\infty$ funciones que no son analíticas. Como Renart escribió, el ejemplo típico es $f(x)=e^{-1/x^2}$. Su serie de Taylor en $0$ es cero y por lo tanto si $f$ $g$ tienen esta patología (ver Renart del ejemplo), entonces no sería capaz de resolver la forma indeterminada, con herramientas simples (Hospital, Taylor fórmulas, y tal).

Answer 2

La página de la wikipedia sobre indeterminado formas que las define como estar restringido a las siete siguientes formas: $$0/0,~ \infty/\infty,~ 0\times\infty,~ \infty-\infty,~ 0^0,~ 1^\infty,~ \infty^0 $$ y luego pasa a disponer de una tabla útil para la conversión de todos estos en la forma $0/0$ o $\infty/\infty \text{,}$ cuyo límite se puede encontrar usando la regla de L'Hôpital