Verificar que estos sistemas forman una topología

Question

Yo soy la solución de Ejercicio 4.1, la Pregunta 17(v) de Topología sin Lágrimas (enlace) de Sidney Morris. (Este ejercicio es marcado con una estrella.)

Deje $S = \{ \frac{1}{n} \,:\, n \in \mathbb N \}$. Definir un conjunto $C \subseteq \mathbb R$ a ser cerrado si $C = A \cup T$ donde $A$ es cerrado en la topología euclidiana sobre $\mathbb R$ $T$ es cualquier subconjunto de a $S$. [Mostrar que] Los complementos de estos conjuntos cerrados forma una topología $\mathcal T$ $\mathbb R$ que es Hausdorff, pero no regular.

Tenemos que demostrar tres cosas aquí: $\mathcal T\ $ es una topología, es Hausdorff, pero no es regular. Puedo demostrar la "Hausdorff, pero no regular", pero estoy confundido acerca de mostrar que esto es en realidad una topología!

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Aquí está mi intento. (Voy a poner comillas alrededor de las palabras abiertas y cerradas, siempre que sean con respeto a $\mathcal T\ $, para recordarme a mí mismo que todavía no he verificado que $\mathcal T\ $ es una topología.) Claramente debería verificar que $\mathcal T\ $ satisface la topología de los axiomas.

1. Puedo ver por qué tanto $\mathbb R$ $\emptyset$ son "cerradas"$\mathcal T\ $.

2. También puedo demostrar que si $C_1 = A_1 \cup T_1$ $C_2 = A_2 \cup T_2$ son dos "cerrado", entonces su unión también está "cerrado". Por lo tanto, por inducción, de un número finito de la unión de "cerrado" establece también está "cerrado".

3. La parte que yo estoy atrapado en esta mostrando que una intersección arbitraria de "cerrado" establece también está cerrada. Deje $I$ ser arbitraria conjunto de índices. Para $i \in I$, vamos a $C_i = A_i \cup T_i$ ser tal que $A_i$ es cerrado en $\mathbb R$$T_i \subseteq S$. Quiero escribir la intersección

$$ C := \bigcap_{i \in I} (A_i \cup T_i) $$ en una forma que hace que sea evidente que $C$ está "cerrado". Pero ingenuamente la distribución de la $\bigcap$ sobre el $\cup$ no parece funcionar. Por favor, sugiera algunas sugerencias!

Aunque esto no es realmente la tarea, voy a añadir la tarea de la etiqueta ya que yo no estoy en busca de soluciones completas de todos modos.

Answer 1

$C = \bigcap\limits_{i\in I} (A_i \cup T_i)$, donde cada $A_i$ es euclidiana cerrado y cada $T_i \subseteq S$. Que $A = \bigcap\limits_{i\in I} A_i$; $A$ es euclidiana cerrado. ¿Que debe ser cualquier punto de $C \setminus A$?

Otro enfoque es a través de bases locales. Para $n \in \omega$ y $x \in \mathbb{R}$ que $$B(x,n) = \begin{cases} \{y \in \mathbb{R}:\vert y-x\vert < 2^{-n}\},&\text{if }x \ne 0\\ \{y \in \mathbb{R}:\vert y-x\vert < 2^{-n}\}\setminus S,&\text{if }x = 0. \end{casos} $$

Demuestran que $\mathscr{B} = \{B(x,n):n \in \omega \land x \in \mathbb{R}\}$ es una base para una topología, y que la topología lo genera es $\mathcal{T}$. (Así, $\mathcal{T}$ diferencia de la topología euclidiana sólo en $0$.)