En la práctica, a menudo asumimos que el proceso que estamos examinando tiene un promedio, y por lo de las estadísticas que involucran los promedios están definidos.
Como pura conjetura, me preguntaba si se puede construir una prueba de hipótesis para la existencia de un medio. Esto parecía un poco demasiado amplia, así que ¿qué hay de la más limitada en el caso de que los datos son iid observaciones de una distribución simétrica?
He aquí lo que he probado hasta ahora, y donde me quedé atrapado:
Asumir: $E[X_i]=\mu \in (-\infty,\infty)\;\textrm{and} \;X_i \sim F(x_i;\mu)$
Entonces:
$$\bar{X}_n := \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \xrightarrow{wp1} \mu\; \textrm{by SLLN}$$
También sabemos que la distribución de $\bar{X}_n$ se converge a una distribución estable de $f(x; \alpha,\beta,c,\mu)$ donde $\beta=0,\alpha>1$ (para asegurarse de que es simétrica y tiene una media), así:
$$\bar{X}_n \xrightarrow{d} f(x;\alpha,0,c,\mu)$$
No me parece muy útil, porque todavía hay demasiados parámetros libres. Por lo tanto, he intentado con otro ajuste:
Deje $Y_n=X_{n}-\bar{X}_{n-1},\; n>1$, entonces:
$$\lim_{n\to \infty} E[Y_n] = E[X_n] - E[\bar{X}_{n-1}] = \mu - \lim_{n\to \infty} E[\bar{X}_{n-1}] = \mu-\mu = 0 $$
Donde la tercera expresión es justificado por la observación de que $E[\bar{X}_k]$ es una función constante en $k$:
$$E[\bar{X}_k] = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k E[X_i] = \mu \;\forall k\implies \lim_{k\to\infty} E[\bar{X}_k] = \mu$$
Así, ahora podemos decir que:
$$Y_n \xrightarrow{d} f(y;\alpha,0,c,0)$$
Problema
Lo que realmente me quieren por lo que encontrar una serie de transformaciones de $Y_n$ que me permiten obtener una secuencia de variables aleatorias $G_n$ tal forma que:
$$G_n \xrightarrow{d} f(g;\alpha,0,1,0)$$
Entonces, yo quiero construir una asintóticamente correcta de la prueba de hipótesis a partir de una observación de $G_n$:
$$H_0: \alpha > 1;\; H_a: \alpha\leq 1$$
Así tenemos la prueba:
$$T(a;R\subset \mathbb{R})=1 \implies a \notin R,$$
$$T= 0\;o/w$$
Donde $a=G_n$, y definimos $R:=R_n$ tal que $E_{\alpha>1}[T(G_n;R_n)]\leq P(\textrm{Type I error})$, donde tenemos algunos pre-especificada Tipo de tasa de error.
Pensamientos tan lejos
No sé cómo encontrar una secuencia, pero parece que se han realizado algunos trabajos sobre inferencia directa en $\alpha$. Vea aquí.
Creo que una prueba razonable sería como sigue:
- Partición de la muestra en $K$ grupos.
- Deje $Y_{i,k}:= X_{i,k} - \bar{X}$ será la media de valores corregidos mediante el grand decir.
- Para cada una de las $k \in K$ calcular la partición de la media de la muestra $\bar{Y}_k$
- Suponga que $\bar{Y}_{k}$ son observaciones de una $\alpha-$distribución estable con $\beta=\mu=0$
- Estimación de $\alpha$ utilizando uno de los métodos enumerados aquí y aprox. (1-p)%-intervalo de confianza $I_p$.
- Si $\alpha<1 \in I_p$, rechazar a nivel de $p$ y la conclusión de un medio no existe en el nivel $p$.
No estoy seguro si hay algún problema con esto, sin embargo.
