Encuentre el valor máximo y mínimo de $P =x+y+z+xy+yz+zx$

Question

Dejemos que $x^2+y^2+z^2\leq27$ y $P = x+y+z+xy+yz+zx$ . Encuentre el valor de $x, y, z$ tal que $P$ es el valor máximo y el valor mínimo.

Mi intento :

$$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0$$

$$27 \geq x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx\tag{1}$$

$$(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2) \le 3 \cdot 27$$

$$(x+y+z)^2 \leq 81$$

$$x+y+z \leq 9\tag{2}$$

Desde $(1), (2)$ , $ x+y+z+xy+yz+zx \leq 36$ Así que $P_{\text{max}} = 36$ con el mantenimiento de la igualdad en $x=y=z=3$ .

Por favor, sugiera cómo encontrar $P_{\text{min}}$ .

Answer 1

Se puede utilizar el mismo método para encontrar el mínimo. En primer lugar, obtenemos una cota inferior para $P$ : $$ \begin{align} P&=x+y+z+xy+yz+zx\\ &=\frac12 [ (x+y+z+1)^2 - (x^2+y^2+z^2) - 1 ]\\ &\ge\frac12 (0 - 27 - 1)\tag{1}\\ &= -14. \end{align} $$ A continuación, observe que en $\left(\frac{\sqrt{53}-1}2,-\frac{\sqrt{53}+1}2,0\right)$ tenemos $x+y+z+1=0$ y $x^2+y^2+z^2=27$ . Por lo tanto, el empate puede producirse en $(1)$ y el límite inferior $-14$ es alcanzable.

Answer 2

Un mínimo es $-14$ .

Demostrar que $$(x+y+z)\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{27}}+xy+xz+yz+\frac{14}{27}(x^2+y^2+z^2)\geq0$$