Demostrar eso si $ u \cdot v = u \cdot w $ y $v = w$

Question

He intentado poner para arriba como:

$$ [u_1 v_1 + \ldots + u_n v_n] = [u_1 w_1 + \ldots + u_n w_n] $$

Pero esto no hace claro de inmediato... Yo no puedo simplemente divida por $u_1 + \ldots + u_n$ como estas ($u$, $v$ y $w$) son vectores...

¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Si $u\cdot v=u\cdot w$para todos $u$ (equivalente $u\cdot(v-w)=0$), luego a $u=v-w$, obtenemos $\|v-w\|^2=(v-w)\cdot(v-w)=0$. Por lo tanto, $v=w$.

P.S.: por supuesto, si es de $v$ $w$ supuesto que vectores de un espacio interno del producto $S$ con un % de la base $s_1,\ldots,s_k$, entonces "para todas las $u$" puede reemplazarse por "por $u=s_i$, $i=1,\ldots,k$ %".

Answer 2

Probablemente desea agregar "para todas las $u$" a esa pregunta.

Reorganizar, consigues $u\cdot (v-w)=0$.

¿Si $v-w\neq 0$, se puede ver cómo un $u$ lo que $u\cdot(v-w)\neq 0$? Una opción muy simple de $u$ funcionaría.

Por contrapositive, habrá demostrado eso si $u\cdot (v-w)=0$ % todo $u$, entonces el $v=w$.

Answer 3

$$ u\cdot v=u\cdot w $$

Otros han mostrado cómo mostrar que $v=w$ si uno asume que el anterior para todos los valores de $u$.

Para demostrar que ahora es verdad si uno asume que $u$, $v$, $w$ son algunos de los vectores, echemos un vistazo a las circunstancias en las que sería un fracaso. Recordemos que $u\cdot v = \|u\| \|v\|\cos\theta$ donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $u$$v$.

Así, una circunstancia en la que la conclusión no se sostiene es al $v$ $w$ son de la misma longitud, es decir,$\|v\|=\|w\|$, y ambos están en el mismo ángulo con $u$. Basta con dibujar una imagen. Uno puede rotar $v$ sobre un eje en el que el vector $u$ mentiras y obtener muchos vectores $w$ tener la misma longitud como $v$ y haciendo los mismos ángulos con $u$.

Otra circunstancia en la que se produce un error es este: imagen de: $u$ $v$ como flecha que apunta desde el origen, y dibujar un plano o hyperplane en ángulos rectos a $u$ que pasa a través del extremo de la punta de flecha de la $v$. Elige un punto arbitrario en el que hyperplane, y dibuje una flecha desde el origen hasta ese punto. La llamada que el vector $w$. A continuación, mostrar que $u\cdot v=u\cdot w$.

Answer 4

No puedo elegir $u=(1,0,0)$, $u=(0,1,0)$ y $u=(0,0,1)$. Cuando los enchufo en $u\cdot v=u\cdot w$, obtener tres ecuaciones: $v_1=w_1$, $v_2=w_2$ y $v_3=w_3$, $v$ debe ser igual al $w$.