Resolver la siguiente integral: $\int_{x_0}^\infty \log(x) e^{-(x-a)^2/b}dx \quad x_0,b>0$

Question

Quiero calcular esta integral preferiblemente en forma cerrada sin expandir la función $\log$; sin embargo, aproximaciones computables eficientemente también podrían resolver mi problema:

$\int_{x_0}^\infty \log(x) e^{-\frac{(x-a)^2}{b}}dx \quad x_0,b>0$

Antecedentes: Estoy tratando de calcular la expectativa de una función logarítmica de variables aleatorias de una distribución normal truncada:

$\mathbb{E}_{x\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2|x\geq x_0>0)}[\log(x)]$

De manera equivalente, necesito resolver la siguiente integral:

$\int_{x_0}^\infty \log(x) \frac{e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}{\sigma^2\sqrt{2\pi}(1-\Phi(\frac{x_0-\mu}{\sigma}))}dx=\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi}(1-\Phi(\frac{x_0-\mu}{\sigma}))}\int_{x_0}^\infty \log(x) e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$

Estoy atascado aquí.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Aquí hay una solución sugerida. Recordemos que $$\frac{\partial}{\partial t} x^t = x^t\log(x)$$

y notemos que la derivada anterior será igual a $\log(x)$ cuando $t = 0$. Por lo tanto, $$I = \int^\infty_{x_0} \log(x) \exp\left(-\frac{1}{2} \left[\frac{x - \mu}{\sigma}\right]^2\right)dx = \left.\int^\infty_{x_0} \left[\frac{\partial}{\partial t} x^t\right] \exp\left(-\frac{1}{2} \left[\frac{x - \mu}{\sigma}\right]^2\right)dx\right|_{t = 0}$$

Usando la regla integral de Leibniz, la integral anterior se puede reescribir como $$I = \left.\dfrac{d}{dt} \int^\infty_{x_0} x^t \exp\left(-\frac{1}{2} \left[\frac{x - \mu}{\sigma}\right]^2\right)dx\right|_{t = 0}.$$

Sea $u = \frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2$, entonces, $\frac{\sigma}{\sqrt{2}} u^{-\frac{1}{2}} du = dx$. Por lo tanto,

$$I = \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \left.\dfrac{d}{dt} \int^\infty_{\xi_0} u^{1 - \frac{t}{2} - 1} e^{-u}du\right|_{t = 0} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \left.\dfrac{d}{dt} \Gamma\left(1 - \frac{t}{2}, \xi_0 \right)\right|_{t = 0}$$ donde $\xi_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_0 - \mu}{\sigma}\right)^2$. Usando la definición de la derivada de primer orden de la función gamma incompleta superior $\Gamma(\cdot, \cdot)$ que fue dada por Geddes et. al. (1990), la integral anterior se reduce a: $$I = -\frac{\sigma}{2\sqrt{2}} \left.\left[\log \xi_0 \Gamma\left(1 - \frac{t}{2}, \xi_0 \right) + \xi_0 T\left(3, 1 - \frac{t}{2}, \xi_0\right) \right]\right|_{t = 0} = -\frac{\sigma}{2\sqrt{2}} \left[\log \xi_0 \Gamma\left(1, \xi_0 \right) + \xi_0 T\left(3, 1, \xi_0\right) \right]$$ donde $$T\left(3, 1, \xi_0\right) = G^{3,0}_{2,3} \left(\xi_0 \left| \begin{matrix} 0 , 0 \\ -1, 0, - 1 \end{matrix} \right. \right)$$ es un caso especial de la función G de Meijer.

Referencia:

K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott (1990), Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, vol. 1, pp. 149-165

Answer 2

Una rápida aproximación para grandes $a$ utilizando el método del punto de silla: La integranda se puede escribir como $e^{f(x)}$, donde $$f(x) = \log\log x - \frac{(x-a)^2}{b}.$$ Encontramos que $$f'(x) = \frac{1}{x\log x} - \frac{2(x-a)}{b}.$$ Por lo tanto, para grandes $a$ tenemos $f'(a)=\frac{1}{a\log a}\approx 0$. También encontramos que $f(a) = \log\log a$ y $$f''(a) = -\frac{2}{b} + O\left(\frac{1}{a^2\log a}\right)\approx -\frac{2}{b}.$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} \int_{x_0}^\infty \log(x) e^{-(x-a)^2/b}dx &\approx \int_{x_0}^\infty \exp\left(\log\log a -\frac{1}{b}(x-a)^2\right) dx \\ &= \sqrt{\pi b}\log a\, \Phi\left(\sqrt{\frac{2}{b}}(a-x_0)\right). %= \frac{1}{2}\sqrt{\pi b}\log a %\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{a-x_0}{\sqrt{b}}\right)\right). \end{align*}$$ (Se puede demostrar que el mismo resultado se obtiene si asumimos en su lugar que $b$ es pequeño.)

Adición: A continuación representamos el error absoluto relativo y el error absoluto al usar esta aproximación para $x_0=1$.

Answer 3

Demasiado largo para un comentario : Incluso el caso simple $\color{#0055AA}{a=x_0}$ produce una expresión en términos de
$($ generalizadas $)$ funciones hipergeométricas :

$$I(a,b)~=~\frac14~\sqrt{\frac\pi b}~\bigg[2a^2\cdot~_2F_2\bigg(\{1,1\},\bigg\{\frac32,~2\bigg\},-\frac{a^2}b\bigg)-b\cdot J(a,b)\bigg],$$

con

$$J(a,b)~=~\gamma~+~\ln\frac4b~+~\text{erf}~\bigg(\frac a{\sqrt b}\bigg)\cdot\bigg(\gamma-2+\ln\frac{a^2}b\bigg),$$

donde $\text{erf}$ representa la función de error, y $\gamma$ representa la constante de Euler-Mascheroni.

Por lo tanto, es muy dudoso que la integral definida más general publicada en la pregunta original tenga una forma cerrada incluso en términos de estas funciones especiales. ¿Quizás la función G de Meijer pueda entrar en acción y salvar el día ? Solo una idea $\ldots$