Demostrar que $717$ no es principal con Wilson del teorema.
Supongamos que $717$ es primero entonces:
$$716! \equiv -1 \pmod{717}$$
$$ 716 \cdot 715! \equiv -1 \mod{717}$$
$$ 716 \equiv -1 \pmod{717}$$
$$715! = 715 \cdot 714! \equiv -2 \cdot 714 \pmod{717}$$
¿Aún así, no siento que tengo lo suficiente para que una contradicción? ¿Ayuda?
$$717\mid 9760496755029770610869447395675086113984057343132061757382342151925641\\ 9275455971314773495702907775026291563950827586900336378458159342677078\\ 5022184766044932222514928686783680807925809243433542915857945929421783\\ 5307048238908992084546959184908182359502237044234483347263334283471612\\ 9708285958225728166193874164093882286585568557635299063799347869228097\\ 1568229218443261304970052163939166467765233582512306591911191981348670\\ 2663568585245019566224949333279099079181925728725083924950348255600895\\ 1141127891459412702371610057016753341274225675436079833167510747019252\\ 9657366321645491563408318838830762107005614360976800500448336833598641\\ 4008806808483195324663092006426690690945289375105480649552172718227627\\ 7258677664195676324565189315249978730729410766498521756206976344345284\\ 3191499031516540874936871231902196461915733570748092868894565528541313\\ 4514035620474766158047574572166266828269813314839352735145285551657374\\ 6907745012097414926206463183535993709920169296374060634672272749951772\\ 9215399481349790716729648575994890699775701868922688637771964484376413\\ 6438369470924871843891222836721683045768631532680329504510911992289807\\ 6604194356028532086828980739618889238592447301455397285599714380092158\\ 9887054956250516301149224895438755151046464412970706490243112044782156\\ 0127148485917013746072079690583286912734936955963268641468501879578477\\ 3606007555355494365933928921763585644829098668458472793277802984658672\\ 6130942087714441899532667092327224830663251094767972789121512144963565\\ 2412240681915683642064079940398108745541151191150024389318502067558482\\ 2373352456553758720000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000.$$
Por lo tanto...
(Esto probablemente no es lo que su maestro significaba, sin embargo.)
Aquí un poco menos trivial/la lengua en la mejilla interpretación de la pregunta. Supongamos que tomamos del teorema de Wilson como la definición de un primo, es decir,
Definir un número natural $n$ a ser el primer si $(n-1)!\equiv-1\pmod n$, y compuesto de otra manera.
Ahora que en realidad tienen algo que demostrar. Desde $(717-1)!$ es el producto de los números de $1$ a $716$, $3$ y $239$ se muestran en la lista. Por lo tanto $3\cdot 239=717\mid(717-1)!$, lo $(717-1)!\equiv 0\pmod{717}$, así que por nuestra definición $717$ es compuesto.
Que $717$ ser primer
entonces $716!\equiv -1 mod 717$
tenemos $ 714 \equiv 0 mod 3$
por lo tanto $ 714! \equiv 0 mod 3$
$714!(715)\equiv 715 mod 3 \equiv 1 mod 3$
Del mismo modo $ 716! \equiv 2 mod 3 \equiv -1 mod 3$
por lo tanto $716!+1=3k$
También tenemos $716!+1=717k'$
por lo tanto $3k=717k'$
¿que implicaría?
¿puede u hacerlo?
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