Grupos cíclicos que cada miembro de la identidad no es un generador de

Question

Que $G$ ser un grupo cíclico. Hay un teorema que establece que si el $|G|$ es una privilegiada, entonces cada miembro de la no identidad de $G$ es un generador.

¿Qué grupo un cíclico cuyo orden no es primordial: hay un grupo que cada miembro de la identidad no es un generador?

¿Existen otras condiciones necesarias/suficientes grupos que cada miembro de la identidad no es un generador de? (Más allá de la primalidad de $|G|$.)

Answer 1

Para responder a su primera pregunta: no, un grupo cíclico cuyo fin no es primo debe contener la no-identidad (gracias Zev!) elementos que no son generadores. Deje $G$ ser un grupo cíclico, vamos a $g$ ser cualquier generador de $G$, y deje $n$ ser el orden de $G$. Entonces para cualquier $d$ que divide $n$, el subgrupo generado por a $g^d$ no $G$ (este subgrupo ha $n/d$ elementos, sino $G$ $n$ elementos).

Para responder a su segunda pregunta: para cada elemento de identidad de $G$ a un generador, $G$ debe ser un grupo cíclico con el primer pedido. Si $G$ no eran un grupo cíclico, a continuación, $G$ no tienen ningún generadores (la definición de "grupo cíclico" es "un grupo que puede ser generado por un solo elemento"), y la respuesta a tu primera pregunta muestra que el orden de $G$ debe ser un primo.